مقاله درمورد بزرگترین عدد اول

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 13

بزرگترین عدد اول

بزرگ ترین عدد اولی که تا کنون کشف شده است، عدد     ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷  است که ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد.

 عدد اول : هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک که فقط بر خودش ویک بخش پذیر باشد،عدد اول نامیده می شود. مثل ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ...

عدد مرکب : هرعدد طبیعی بزرگ تراز یک که به جز خودش و یک بر عدد طبیعی دیگری نیزبخش پذیر باشد، عددی مرکب نامیده می شود . مثل ۴ ، ۶ ، ۸ ، ۹ ، ...

عدد مرسن :اعداد اولی به شکل ۱- Mn = ۲n که در آن n اول باشد، اعداد اول مرسن نامیده می شوند. مثل اعداد ۳ و۷ که اولین و دومین اعداد اول مرسن هستند.

( ۱- ۲۲ = ۳ و ۱ - ۲۳ = ۷ )

 نخستین اعداد اول مرسن عبارت اند از : ۳ ، ۷ ، ۳۱ ، ۱۲۷ ، ۸۱۹۱ ، ۱۳۱۰۷۱ ، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ ، ... که به ترتیب با n های اول ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷، ۱۳ ، ۱۷ ، ۱۹ ، ... متناظر هستند.

آقای مونک مارین مرسن فرانسویMonk Marin Mersenne۱۶۴۸-۱۵۸۸) ) که این اعداد را کشف کرد حدوداً ۳۵۰ سال قبل می زیسته است و اکنون ابر رایانه ها به کمک فرمول او سرگرم جستجوی اعداد اول بزرگ هستند.

بی شمار عدد اول وجود دارد اما علی رغم کوشش های فراوان هنوز هیچ رابطه یا نظمی که بتواند نحوه ی پراکندگی این عددها را در بین سایر اعداد نشان دهد، پیدا نشده است. به نظر می رسد که اعداد اول بدون هیچ نظم و الگویی و از روی تصادف در میان اعداد پراکنده شده اند. پیدا کردن بزرگ ترین عدد اول نه تنها برای ریاضیدان ها بلکه برای مهندسان و طراحان نرم افزارهای رایانه ای نیز بسیار مهم است. چرا که یکی از کاربردهای اصلی اعداد اول در مسائل امنیت و ایمنی ارتباطات رایانه ای و به ویژه شبکه های مبادلاتی الکترونیک است. فرض کنید شما یک عدد اول بسیار بزرگ داشته باشید و از آن به عنوان یک کد یا یک امضای الکترونیک استفاده کنید و از عدد غول پیکر اول دیگری نیز به عنوان پاسخ امضاء یا تاییدیه استفاده نمایید. به این دلیل که اعداد اول هیچ توزیع منظمی ندارند بنابراین رمزهایی که بر اساس آن ها ساخته شده باشد به راحتی قابل شکستن نخواهد بود. این انگیزه ی مهمی برای جستجوی اعداد اول بزرگ تر است.بزرگ ترین عدد اول که چهل و سومین عدد مرسن است کشف شد. شبکه رایانه ایGIMPS ( Great Internet Prime Search)عدداول   ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷ راکه ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد کشف کرد.

تعریف اعداد اول

عدد طبیعی P>1 را عدد اول می گویند هرگاه تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1 و P باشند. به عبارت دیگر یک عدد طبیعی اول است هرگاه جز یک و خودش بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نباشد. هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.

به عنوان مثال اعداد 2و3و5و7 اول و اعداد 12و18و325 مرکب می باشند.

لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.

اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:

نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

قضیه بنیادی حساب:

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشد: که در آن ها اعداد اول متمایر می باشند. این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.

همچنین اگر n

که در آن ها اعداد اول متمایز می باشند.

توجه: اگر n=1 باشد آنگاه که در ان P هر عدد اولی است.

لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:12=2×2×3

تجزیه استاندارد یک عدد: اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت:

که در آن ها اعداد اول متمایز و اعداد طبیعی اند. این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.

توجه: بزرگترین توان که: را به صورت می دهند.

به عنوان مثال تجزیه استاندارد 12 به عوامل اول به صورت مقابل است:

دایره های عدد نویز 32 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 32

P502.

7.5 دایره های عدد نویز

در بسیاری از تقویت کننده های RF، برای تقویت سیگنال در سطح نویز حداقل, نیازمند یک سیستم حساب شده می باشیم. متاسفانه طراحی یک تقویت کننده کم نویز با فاکتوهایی نظیر پایداری و بهره سنجیده می شود, برای نمونه در ماکزیمم بهره، نویز حداقل نمی تواند بدست آید. بنابراین اهمیت دارد که روشهایی را که به ما اجازه می دهند که نویز موثر را به عنوان قسمتی از نمودار اسمیت برای هدایت شباهت ها و مشاهده توازن ما بین گین و پایداری نشان می دهد توسعه می دهیم.

از یک نمای تمرینی، جزء موثر تحلیل نویز ، عدد نویز تقویت کننده دو پورتی در فرم ادمیتانسی است .

9.73 2

و یا فرم معادل امپدانسی 9.74

که امپدانس منبع است .

هر دو معادله از ضمیمه H مشتق شده‌اند. هنگام استفاده از ترانزیستور بطور معمول چهار پارامتر نویز شناخته می شوند که از طریقdatasheet کارخانه سازنده FET یاBJT یا از طریق اندازه گیریهای مستقیم بدست می آیند . آنها عبارتند از :

- عدد نویز حداقل (همچنین اپتیمم نیز نامیده می شود) که رفتارش بستگی به شرایط پایه ای و عملکرد فرکانسی دارد . اگر وسیله, نویزی نداشته باشد ما میتوانیم Fmin را برابر 1 بدست آوریم.

- مقاومت معادل نویز که برابر عکس رسانایی وسیله میباشد

P 503.

- ادمیانس اپتیمم منبع

بجای امپدانس یا ادمیتانس ، ضریب انعکاس اپتیممoptاغلب لیست می شود. ارتباط ما بین و بوسیله رابطه زیر بیان میشود:

9.75

از زمان انتخاب پارامتر S به عنوان مناسب ترین گزینه برای طرحهای فرکانس بالا ما رابطه9.73را به فرمی تبدیل کردیم که ادمیتانسها با ضرایب انعکاس جایگزین شوند.در کنار 9.75 ما از رابطه زیر در 9.73 استفاده می کنیم :

GS می تواند بصورت نوشته شود و نتیجه نهایی بصورت زیر است :

در رابطه 9.77 مقدار Fmin و Rn و شناخته شده هستند.

بطور کلی مهندس طراح برای تنظیم آزادی عمل دارد تا عدد نویز را تحت تاثیر قرار دهد . برای Гs=Гopt می دانیم که کمترین مقدار ممکن عدد نویز برایF= بدست می آید . برای جواب دادن به این سوال که چگونه با یک عدد نویز خاص اجازه می دهند که بگوییم Fk با Гs مرتبط است رابطه 9.77 را باید بصورت زیر بنویسیم:

که عناصر موجود در طرف راست یک شکل معادله برگشتی را ارائه می دهند . یک ثابت Qk که با معادله زیر بیان می شودمعرفی میکنیم:

و ارنج دوباره عبارتها معادله زیر را می دهد:

تقسیم شدن بر (1+Qk) و به توان دو رساندن بعد از مقداری عملیات جبری نتیجه می‌دهد:

.P 504

این یک معادله برگشتی مورد نیاز در فرم استاندارد است که می تواند بعنوان قسمتی از نمودار اسمیت ظاهر شده باشد .

که موقعیت مرکز دایره dFK با عدد کمپلکس زیر نشان داده شده است :

و با شعاع

دو نکته جالب توجه و جود دارد که از معادله های 9.83 و 9.84 بدست می‌آیند .

منیمم عدد نویز برای FK=Fmin بدست می آید که با مکان شعاع هماهنگی دارد .

همه مراکز دایره های نویز ثابت در طول یک خط از محیط به نقطه کشیده شده‌اند عدد نویز بزرگتر نزدیکتر به مرکز dFk به سمت محیط حرکت می کند و شعاع rFK بزرگتر می شود . مثال زیر توازن بین بهره و عدد نویز را برای تقویت کننده سیگنال کوچک نشان می دهد .

P 505.

مثال 9.14: یک تقویت کننده سیگنال کوچک برای عدد نویز مینیم وگین مشخص با استفاده از ترانزیستورهای یکسان مانند مثال 9-13 طراحی کنید. یک تقویت کننده قدرت نویز پایین با 8dB بهره و عدد نویزی که کمتر از 1.6dB است رامیتوان بافرض این که که ترانزیستورهاپارامترهای نویز زیررا دارندdB Fmin=1.5 ، طراحی کرد.

حل : عدد نویز مستقل از ضریب انعکاس بار است. هر چند تابعی از امپدانس منبع است .

پس مپ کردن دایره گین ثبت بدست آمده در مثال 9.13 به پلان آسان است. با بکار بردن معادلات 9.64 و 9.65 و مقادیر مثال 9.13 با مرکز و شعاع دایره گین ثابت را پیدا می کنیم: 18º dgs=0.29

یک قرار گرفته در هر جای روی این دایره، مقدار گین مورد نیاز را بر آورده خواهد کرد .

هر چند برای اینکه به جزئیات عدد نویز دست یابیم باید مطمئن باشیم که داخل دایره نویز ثابت FK=2dB قرار دارد.

مرکز دایره نویز ثابت و شعاع آن به ترتیب با استفاده از معادله های 9.83 و 9.84 محاسبه شده اند.

آنها با هم در زیر با ضریب QK لیست شده اند 9.79 را ببینید:

QK=0.2 dFK=0.42 < 45 , rFk=0.36

دایره های آمدهG=8dB و Fk=1.6dB در شکل 9.17 نشان داده شده اند.

شکل 9.17

توجه شود که ماکزیمم بهره قدرت در نقطه ای بدست آمده که

P506.

(مثال 9.11 را برای محاسبات جزئیات ببینید) هرچند عدد نویز مینمم در بدست آمده است که برای این مثال نشان می دهد که دسترسی به ماکزیمم بهره و مینیم عدد نویز بطور همزمان غیر ممکن است. آشکار است که بعضی از توافقات باید صورت گیرد.

برای کوچک کردن عدد نویز برای یک گین داده شده ، ما باید ضریب انعکاس منبع را تا حد امکان نزدیک یه بر گزینیم تا زمانیکه هنوز روی دایره بهره ثابت بماند . با بکار بردن رابطه 9.62 و انتخاب دلخواه ، را بدست می دهد.

عدد نویز تقویت کننده با استفاده از رابطه 9.77 بدست میآید:

9.6 دایره های VSWR ثابت .

در بسیاری از موارد تقویت کننده باید زیر یک مقدار VSWR مشخص که در پورت ورودی و خروجی تقویت کننده اندازه گیری شده بمانند . رنج تغیرات VSWR بین [1.5 , 2.5] باشد1.5<=VSWR<=2.5 همانگونه که از بحثمان در فصل 8 می دانیم , هدف از شبکه های تطبیق اساسا جهت کاهش VSWR در ترانزیستوراست. مشکل از این حقیقت ناشی می شود که, VSWR ورودی (یا (VSWRIMN در ورودی شبکه تطبیق مشخص شده است که در برگشت بوسیله جزءهای اکتیو و از طریق فیدبک بوسیله شبکه تطبیق خروجی (OMN) تحت تاثیر است بر عکس VSWR خروجی (یا (VSWROMN بوسیله OMN و دوباره از طریق فید بک بوسیله IMN مشخص شده است . این گفته ها به یک طرح دو جانبه نزدیک است همانگونه که در بخش 9.4.3 بحث شد.

بزرگترین عدد اول

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 13 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

بزرگترین عدد اول

بزرگ ترین عدد اولی که تا کنون کشف شده است، عدد     ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷  است که ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد.

 عدد اول : هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک که فقط بر خودش ویک بخش پذیر باشد،عدد اول نامیده می شود. مثل ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ...

عدد مرکب : هرعدد طبیعی بزرگ تراز یک که به جز خودش و یک بر عدد طبیعی دیگری نیزبخش پذیر باشد، عددی مرکب نامیده می شود . مثل ۴ ، ۶ ، ۸ ، ۹ ، ...

عدد مرسن :اعداد اولی به شکل ۱- Mn = ۲n که در آن n اول باشد، اعداد اول مرسن نامیده می شوند. مثل اعداد ۳ و۷ که اولین و دومین اعداد اول مرسن هستند.

( ۱- ۲۲ = ۳ و ۱ - ۲۳ = ۷ )

 نخستین اعداد اول مرسن عبارت اند از : ۳ ، ۷ ، ۳۱ ، ۱۲۷ ، ۸۱۹۱ ، ۱۳۱۰۷۱ ، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ ، ... که به ترتیب با n های اول ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷، ۱۳ ، ۱۷ ، ۱۹ ، ... متناظر هستند.

آقای مونک مارین مرسن فرانسویMonk Marin Mersenne۱۶۴۸-۱۵۸۸) ) که این اعداد را کشف کرد حدوداً ۳۵۰ سال قبل می زیسته است و اکنون ابر رایانه ها به کمک فرمول او سرگرم جستجوی اعداد اول بزرگ هستند.

بی شمار عدد اول وجود دارد اما علی رغم کوشش های فراوان هنوز هیچ رابطه یا نظمی که بتواند نحوه ی پراکندگی این عددها را در بین سایر اعداد نشان دهد، پیدا نشده است. به نظر می رسد که اعداد اول بدون هیچ نظم و الگویی و از روی تصادف در میان اعداد پراکنده شده اند. پیدا کردن بزرگ ترین عدد اول نه تنها برای ریاضیدان ها بلکه برای مهندسان و طراحان نرم افزارهای رایانه ای نیز بسیار مهم است. چرا که یکی از کاربردهای اصلی اعداد اول در مسائل امنیت و ایمنی ارتباطات رایانه ای و به ویژه شبکه های مبادلاتی الکترونیک است. فرض کنید شما یک عدد اول بسیار بزرگ داشته باشید و از آن به عنوان یک کد یا یک امضای الکترونیک استفاده کنید و از عدد غول پیکر اول دیگری نیز به عنوان پاسخ امضاء یا تاییدیه استفاده نمایید. به این دلیل که اعداد اول هیچ توزیع منظمی ندارند بنابراین رمزهایی که بر اساس آن ها ساخته شده باشد به راحتی قابل شکستن نخواهد بود. این انگیزه ی مهمی برای جستجوی اعداد اول بزرگ تر است.بزرگ ترین عدد اول که چهل و سومین عدد مرسن است کشف شد. شبکه رایانه ایGIMPS ( Great Internet Prime Search)عدداول   ۱- ۲۳۰۴۰۲۴۵۷ راکه ۹۱۵۲۰۵۲ رقم دارد کشف کرد.

تعریف اعداد اول

عدد طبیعی P>1 را عدد اول می گویند هرگاه تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1 و P باشند. به عبارت دیگر یک عدد طبیعی اول است هرگاه جز یک و خودش بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نباشد. هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.

به عنوان مثال اعداد 2و3و5و7 اول و اعداد 12و18و325 مرکب می باشند.

لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.

اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:

نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

قضیه بنیادی حساب:

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشد: که در آن ها اعداد اول متمایر می باشند. این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.

همچنین اگر n

که در آن ها اعداد اول متمایز می باشند.

توجه: اگر n=1 باشد آنگاه که در ان P هر عدد اولی است.

لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:12=2×2×3

تجزیه استاندارد یک عدد: اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت:

که در آن ها اعداد اول متمایز و اعداد طبیعی اند. این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.

توجه: بزرگترین توان که: را به صورت می دهند.

به عنوان مثال تجزیه استاندارد 12 به عوامل اول به صورت مقابل است:

دانلود پروژه عدد طلایی (ریاضیات)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 18

اعداد

دنیای اعداد بسیار زیباست و ما می توانیم در آن شگفتی های بسیاری را بیابیم. در میان برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه ی آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد می رسد، عددی است به نام نسبت طلایی یا Golden Ratio.

اگر پاره خطی را در نظر بگیریم و فرض کنیم که آنرا بگونه ای تقسیم کنیم که نسبت بزرگ به کوچک معادل کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد، اگر معادله ساده یعنی را حل کنیم. ( کافی است به جای b عدد یک قرار دهیم، بعد a را بدست آوریم)، به نسبتی معدل تقریباً 1/61803399 یا 1/618 خواهیم رسید. شاید باور کردنی نباشد، اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند، چرا که به نظر می رسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آن را می پذیرد.

این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود، بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد.

" یک بنای یونان باستان که نسبت طلایی در ساختار آن مشاهده می شود."

به نسبت بین خط های صورت این تصویرها نسبت طلایی گفته می شود.

اهرام مصر

یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است.

مجموعه اهرام GIZA در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد، یکی از شاهکارهای بشری است، در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه ی هرم GIZA خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معرف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقاً 1/61804 میباشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد، یعنی چیزی حدود یک صد هزارم . حال توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معامله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسیم به معادله ای مانند خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. معمولاً عدد طلایی را با نمایش می دهند.

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدوداً معادل 440 متر می باشد، بنابریان نسبت 356 بر 320 معادل نیم ضلع مربع، برابر با عدد 1/618 خواهد شد.

کپلر ( Gohannes Kepler 1571-1630)

منجم معروف نیز علاقه ی بسیاری به نسبت طلایی داشت، به گونه ای که در یکی از کتاب های خود اینگونه نوشت: "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه ی فیثاغورث و دومی رابطه ی تقسیم یک پاره

خط به نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد."

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

آشنایی با سری فیبونانچی

باورکردنی نیست، اما در سال 1202 لئونارد فیبونانچی توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند، که بعدها به عنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید، آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، به سادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید:

پروژه عدد طلایی (ریاضیات)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 18

اعداد

دنیای اعداد بسیار زیباست و ما می توانیم در آن شگفتی های بسیاری را بیابیم. در میان برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه ی آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد می رسد، عددی است به نام نسبت طلایی یا Golden Ratio.

اگر پاره خطی را در نظر بگیریم و فرض کنیم که آنرا بگونه ای تقسیم کنیم که نسبت بزرگ به کوچک معادل کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد، اگر معادله ساده یعنی را حل کنیم. ( کافی است به جای b عدد یک قرار دهیم، بعد a را بدست آوریم)، به نسبتی معدل تقریباً 1/61803399 یا 1/618 خواهیم رسید. شاید باور کردنی نباشد، اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند، چرا که به نظر می رسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آن را می پذیرد.

این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود، بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد.

" یک بنای یونان باستان که نسبت طلایی در ساختار آن مشاهده می شود."

به نسبت بین خط های صورت این تصویرها نسبت طلایی گفته می شود.

اهرام مصر

یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است.

مجموعه اهرام GIZA در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد، یکی از شاهکارهای بشری است، در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه ی هرم GIZA خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معرف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقاً 1/61804 میباشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد، یعنی چیزی حدود یک صد هزارم . حال توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معامله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسیم به معادله ای مانند خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. معمولاً عدد طلایی را با نمایش می دهند.

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدوداً معادل 440 متر می باشد، بنابریان نسبت 356 بر 320 معادل نیم ضلع مربع، برابر با عدد 1/618 خواهد شد.

کپلر ( Gohannes Kepler 1571-1630)

منجم معروف نیز علاقه ی بسیاری به نسبت طلایی داشت، به گونه ای که در یکی از کتاب های خود اینگونه نوشت: "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه ی فیثاغورث و دومی رابطه ی تقسیم یک پاره

خط به نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد."

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

آشنایی با سری فیبونانچی

باورکردنی نیست، اما در سال 1202 لئونارد فیبونانچی توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند، که بعدها به عنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید، آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، به سادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید: