B 160 برف دانه سه بعدی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 12

بسم الله الرحمن الرحیم

برف دانه کُخ به صورت سه بعدی

و اثبات ثابت ماندن حجم آن در بی نهایت

تهیه کننده : دانش آموز سال سوم ریاضی نسیم شاهین پور

دبیرستان بنت الهدای شهرستان دزفول

سال تحصیلی 85-1384

مقدمه :

در 1904 هلگه فون کُخ (1924-1870) ریاضی دان سوئدی، خم جالبی ساخت که امروزه به خم «دانه برفی» کُخ معروف است. ترسیم این خم، همانطور که در قسمت (1) شکل نشان داده شده است، با یک مثلث متساوی الاضلاع آغاز می شود. طول هر ضلع این مثلث 1، محیط آن 3 و مساحت آن است. (یادآوری می کنیم که اگر طول ضلع مثلث متساوی الاضلاعی باشد، آنگاه محیط آن s 3 و مساحت آن است.) سپس با کنار گذاشتن ثلث میانی هر ضلع (از مثلث متساوی الاضلاع اصلی) و چسباندن یک مثلث متساوی الاضلاع جدید به طول ضلع به آن، این مثلث به ستاره شکل (2) تبدی می شود پس وقتی که از قسمت (1)شکل به قسمت(2)می رسیم، هر ضلع به طول 1 به چهار ضلع به طول تبدیل می شود و یک دوازده ضلعی با مساحتی برابر با به دست می آوریم. با ادامه این فرآیند، یعنی با کنار گذاشتن ثلث میانی هر یک از 12 ضلع ستاره و چسباندن یک مثلث متساوی الاضلاع به طول ضلع (یعنی ) به آن، شکل قسمت (2) را به شکل قسمت (3) تبدیل می کنیم. اکنون [در شکل (3)] یک ضلعی داریم که مساحتی برابر با

دارد.

به ازای 0≤n ، فرض کنیم مساحت چند ضلعی را نشان دهد که پس از اعمال n تبدیل از نوع توصیف شده در بالا به مثلث متساوی الاضلاع اصلی حاصل شده است [تبدیل نخست از در شکل (1) به در شکل )2)و تبدیل دوم در شکل (2) به در شکل (3).] وقتی که از (با ضلع ) به (با ضلع) می رسیم می بینیم که

زیرا هنگام تبدیل کردن به ثلث میانی هر یک از ضلع را کنار می گذاریم و مثلث متساوی الاضلاعی به صول ضلع به آن می چسبانیم.

قسمت همگن جواب این رابطه بازگشتی ناهمگن مرتبه اول است (که از رابطه بازگشتی همگن وابسته، یعنی ، حاصل می شود). چون جوابی برای رابطه همگن وابسته نیست، قسمت خصوصی جواب عبارت است از ، که در آن B ثابت است. اگر در این رابطه بازگشتی

بگذاریم می بینیم که

بنابراین،

و

در نتیجه،

,

چون ، نتیجه می گیریم که

و

,

می بینیم که با بزرگ شدن به صفر میل می کند و به مقدار متناهی نزدیک می شود. این مقدار را همچنین می توانیم با ادامه محاسباتی که قبل از معرفی رابطه بازگشتی داشتیم به دست آوریم. بنابراین، ملاحظه می کنیم که این مساحت حدی، با