تحقیق در مورد تابع

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .docx ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 8 صفحه

 قسمتی از متن .docx : 

تابع

.

تابع یا پردازه، یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به هنجار(قاعده)‌های تناظری که به هر ورودی خود یک، و فقط یک، خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.

تعریف

تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با /نشان می‌دهیم.

برای نمونه تناظر شکل (۱) نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد چراکه عضو ۳ به دو عضو متناظر شده‌است. اما شکل (۲) نشان دهنده یک تابع است هر چند که دو عضو گوناگون به یک عضو نسبت داده شده‌اند.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب ((a,f(a) برای هر a∈A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع f:A→B برای هر a∈A گزاره a,b)∈f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم.

تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.

برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.

علامت‌ها

برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.

مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است.

دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

/

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

[ویرایش] تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

[ویرایش] تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

تصویر و تصویر معکوس

اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

/

بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)، x∈A یا به بیان نمادین:

/

به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:

{(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d

تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={۱٬۳٬۴ در نظر گرفته شود در این صورت:

{f(A)={f(۱),f(۳),f(۴)}={a,c,d

حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

/

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

توابع و تابع ها

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 36 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

توابـــع

مفاهیم اساسی

مفهوم تابع

طبق تعریفی که اویلر در 1749 به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کمیت متغیر variable quantity ی که وابسته به کمیت متغیر دیگری است توضیح داده می شود. تعریفی چنین از مفهوم تابع برای مقاصد بسیاری کفایت می کند , اما در دوران گسترش بیشتری از ریاضیات آشکار شد که دادن محتوی عمومیتر و مجردتری به مفهوم تابع هم ضروری هم سودمند است .

ماهیت این مفهوم وابستگی کمیتها نیست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که میتوانند در رابطه «کمتر از یا بزرگتر از » مقایسه شوند , بلکه خود واقعیت تناظر correspondence است , که بر مبنای آن اشیای معینی به عنوان تخصیص یافته به اشیای معین دیگر در نظر گرفته می شود. به این ترتیب مفهوم تابع به تعاریف مجموعه نظریه ای set – theoretical definitions تحویل شده است .

تناظرها . هر میله فلزی هنگامی که گرم شود تغییر می کند . به عنوان مثال , فرض می کنیم یک میله مسی در 0 C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتیمتر یا اینچ باشد , در این صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص می شود .

با این فرمول formula هر مقدار t بین 00C و 0C100 در تناظر با طول lی بین u200 و u200.32 قرار داده شده است .

به همین ترتیب با هر مقدار کالا مبلغ معینی پول , به عنوان قیمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه این کتاب , عددی متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بیان می کند .

تناظرها نه تنها بین اعداد , بلکه بطور عمومی تر , بین عنصرهای aی واقع در مجموعه A و عنصرهای bی واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلی نمایش یک تئاتر متناظر با یک بلیط ورودی و یک تماشاچی خاص است . به این ترتیب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ی Fی تعریف شده بر B A با حوزه تعریف AD(F) و برد BR(F) معین می شود .

اگر نسبت به این رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن یک و تنها یک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در این صورت رابطه را تک مداری single-value می گویند و در این صورت از تابع function یا نگاشت mapping از مجموعه A بتوی into مجموعه B صحبت می کنیم ( شکل )

عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستین a''original'' از حوزه آن را نگاره یا تصویر a''image'' می نامیم . در نتیجه تابع f مجموعه ای از جفتهای مرتب ''ordered pairs'' (a,b)ای است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعریف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .

در مورد نگاشت از A بتوی B داریم ; D(F)=A یعنی , هر عنصر a A به عنوان عنصری نخستین رخ میدهد , و در مورد نگاشت از A بروی B ''onto'' , علاوه بر این , هر عنصرBb به عنوان نگاره ای مطرح می شود.

عنصر yی را که توسط تابع f به عنصر x تخصیص داده شده است , اغلب با f(x) نمایش می دهیم و در این صورت تناظر مورد بحث y=f(x) x نوشته می شود.

عنصر x را شناسه یا آرگومان ''argument'' و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ''function value'' در نقطه x می نامند .

حوزه تعریف ''domain of definition'' ( یا تنها حوزه ) تابع x y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمایش می دهیم . اگر f تابعی از A بتوی B باشد , آنگاه واضحاً A X و BY .

نمایش توابع

برای توصیف یک تابع باید حوزه تعریف و برد آن و قاعده ای برای تناظر به دست بدهیم .

نمودار. در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداری نمایش داده می شوند و تناظر مربوطه با پیکانهایی مشخص می شود ( شکل ) . از هر عنصر حوزه تنها یک خط سودار خارج می شود , اما ممکن است یکی یا بیش از یکی از این خطها به هر عنصر برد ختم شود.

7

6

5

4

3

2

1

حوزه تعریف

برد

جدول مقادیر . قاعده تناظر را می توان به جای استفاده از نمودار در جدول مقادیر نیز قرار داد ( شکل ) . عنصرهای حوزه را در سطر بالای جدول وارد می کنیم و زیر هر یک , عنصر متناظر آن از برد را قرار می دهیم . جدول مقادیر تنها می تواند تعدادی متناهی از جفتهای مرتب را به دست دهد , و برای توصیف کامل تابع دلخواه F کفایت نمی کند .

توضیح با کلمات . اگر حوزه و برد یک تابع متناهی نباشد یا آنقدر وسیع باشند که دیگر نمایش نمودار یا جدول مقادیر آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در این صورت دادن توصیف دقیق ''exact description'' حوزه و برد , همراه با قاعده ای که به ازای هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافی است .

تابع را میتوان بدون استفاده از نمادهای ریاضی , به کمک جمله ای به زبان روزمره , بطور کامل تعریف کرد, به عنوان مثال , در صورتی که به هر مسابقه تقسیم بندی اول لیگ فوتبالی خارج قسمت تعداد بلیتهای ورودی و تعداد سکنه محلی که مسابقه در آنجام برقرار می شود را متناظر کنیم , تابعی را تعریف کرده ایم . این تابع می تواند اطلاع معینی از علاقه ای را به دست دهد که عامه مردم در بازیهای خاص نشان می دهند . مثالهای بسیاری از قواعد تناظر می توان یافت که کلاً یا جزئاً با کلمات تنظیم شده اند.

نمودار مختصاتی . نمودار مختصاتی ''diagram'' نیز یک تابع را نمایش می دهد اگر مجموعه ای از اعداد محور افقی را به عنوان حوزه تعریف و مجموعه ای از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعریف دقیقاً آن مقدار از y را تخصیص دهیم که به ازای آنها نقطه با مختصات y, x نقطه ای از نمودار باشد . اما , هر خم بدلخواه رسم شده در یک دستگاه مختصات را نمی توان به عنوان نمایش تابع در نظر گرفت . تناظر داده شده به کمک خم باید تک مقداری ''single-valued'' باشد, و این درحالتی است که خم نمودار مختصاتی مورد بحث توسط هر خط موازی محور قائم حداکثر در یک نقطه قطع شده باشد .

فرمول. بیشترین روش به کار رفته در نمایش یک تابع در ریاضیات فرمول است. در این روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , یا دست کم اشیای ریاضی ''mathematical objects'' اند که در مورد آنها میتوان قاعده های محاسبه '' rules of calculation ''ی مناسب به دست داد , به عنوان مثال :

y=sinx (3) ( 2) y=7x+2 (1)

در صورتیکه معلومات خاصی در مورد حوزه تعریف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادی را متعلق به آن در نظر می گیریم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معینی منسوب کرد . این اعداد در حالت (1 ) و (3) جمیع اعداد حقیقی اند , و در حالت ( 2 ) جمیع اعداد

تابع و لگاریتم در ریاضیات

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 14 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

تابع و لگاریتم در ریاضیات

تاریخچه مختصر ریاضیات

اولین مطلب :

تاریخ را معمولا غربیها نوشته اند، و تا آنجا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراین نمی توان انتظار داشت نوادگان اروپائیانی که سیاهان آفریقا را در حد یک حیوان پائین آورده و آنها را به بردگی کشانده اند، آنها را انسانهائی با سوابق کهن تاریخی و علمی معرفی نمایند. البته این کلام مصداق کلی ندارد، و فقط اشاره به جریان حاکم در تاریخنگاری غربیها دارد. قبل از تاریخانسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا (لیلاواتی) گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد. با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلم از مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند.و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمی می‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اول را بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است.قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.تاریخچه و پیشینه تابع

«تابع»، به عنوان تعریفی در ریاضیات، توسط گاتفرید لایبنیز در سال 1694، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی به وجود آمد، مانند شیب یک

تابع

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 16

تابع

قسمتی از نمودار یک تابع. هر عدد x در عبارت f(x) = x3 - x قرار می‌گیرد.

در ریاضیات، یک تابع رابطه‌ای است که هر متغیر دریافتی خود را فقط به یک خروجی نسبت می‌دهد. علامت استاندارد خروجی یک تابع f به همراه ورودی آن، x می‌باشد یعنی. به مجموعه ورودی‌هایی که یک تابع می‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجی‌هایی که تابع می‌دهد برد می‌گویند.

برای مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده یک تابع است، که در آن f مقدار x را دریافت می‌کند و x2 را می‌دهد. در این صورت برای ورودی 3 مقدار 9 به دست می‌آید. برای مثال، برای یک مقدار تعریف شده در تابع f می‌توانیم بنویسیم، f(4) = 16.

معمولاً در تمارین ریاضی برای معرفی کردن یک تابع از کلمه f استفاده می‌کنیم و در پاراگراف بعد تعریف تابع یعنی f(x) = 2x+1 را می‌نویسم و سپس f(4) = 9. وقتی که نامی برای تابع نیاز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده می‌شود.

وقتی که یک تابع را تعریف می‌کنیم، می‌توانیم خودمان نامی به آن بدهیم، برای مثال:

.

یکی از خواص تابع این است که برای هر مقدار باید یک جواب وجود داشته باشد، برای مثال عبارت:

یک تابع نمی‌باشد، زیرا ممکن است برای یک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در این رابطه اعداد +3 و -3 به دست می‌آیند. برای ساختن یک تابع ریشه دوم، باید فقط یک جواب برای آن وجود داشته باشد، یعنی:

,

که برای هر متغیر غیرمنفی یک جواب غیرمنفی وجود دارد.

در یک تابع لزومی ندارد که حتماً بر روی عدد علمیاتی انجام گیرد. یک مثال که نشان می‌دهد که عملیاتی بر روی عدد انجام نمی‌شود، تابعی است که پایتخت یک کشور را معین می‌کند. مثلاً Capital(France) = Paris.

حال کمی دقیق‌تر می‌شویم اما هنوز از مثال‌های خودمانی استفاده می‌کنیم. A و B دو مجموعه هستند. یک تابع از A به B با به هم پیوستن مقادیر منحصر به فرد درون A معین می‌شود و مجموعه B به دست می‌آید. به مجموعه A دامنه تابع می‌گویند؛ مجموعه B هم تمام مقادیری را که تابع می‌تواند داشته باشد شامل می‌شود.

در بیشتر زمینه‌های ریاضی، اصطلاحات تبدیل و نگاشت معمولاً با تابع هم معنی پنداشته می‌شوند. در هر حال ممکن است که در بعضی زمینه‌های خصوصیات دیگری داشته باشند. برای مثال در هندسه، یک نگاشت گاهی اوقات یک تابع پیوسته تعریف می‌شود.

تعاریف ریاضی یک تابع

یک تابع f یک رابطه دوتایی است، به طوری که برای هر x یک و فقط یک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعریف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده می‌شود.

به دلیل اینکه دو تعریف برای رابطه دوتایی استفاده می‌شود، ما هم از دوتعریف برای تابع استفاده می‌کنیم.

تعریف اول

تعریف ساده رابطه دوتایی عبارتست از: «یک رابطه دوتایی یک زوج مرتب می‌باشد». در این تعریف اگر رابطه دوتایی دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هایی مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 کوچکتر است.

یک تابع مجموعه‌ای از زوج مرتب‌ها است به طوری که اگر (a,b) و (a,c) عضوی از این مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در این صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر یک تابع نمی‌باشد زیرا این رابطه شامل زوج‌های (9, 3) و (9, -3) است و در این صورت 3 با -3 برابر نیست.

دامنه تابع مجموعه مقادیر x یعنی مختص‌های اول زوج‌های رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعریف نشده‌است.

برد تابع مجموعه مقادیر y یعنی مختص‌های دوم زوج‌های رابطه مورد نظر است.

تعریف دوم

بعضی از نویسندگان نیاز به تعریفی دارند که فقط از زوج‌های مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعریف استفاده شود. این گونه نویسندگان به جای تعریف زوج مرتب از سه‌تایی مرتب (X,Y,G) استفاده می‌کنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه می‌گوییم) و G هم زیرمجموعه‌ای از حاصل‌ضرب دکارتی X و Y است (که به آن گراف رابطه می‌گویند). در این صورت تابع رابطه دوتایی است که در آن مقادیر X فقط یک بار در اولین مختص مقادیر G اتفاق می‌افتد. در این تعریف تابع دارای برد منحصر به فرد است؛ این خاصیت در تعریف نخست وجود نداشت.

پروژه تابع متناوب (ریاضیات)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 19

جلسه اول:

آنالیز فوریه:

تابع متناوب: (periodic functional)

تابع را تابع تناوب گویند هرگاه عددی مانند پیدا شود به قسمی که:

دوره تناوب یا پریود تابع x

به کوچکترین مقدارn یعنی که همان است را دوره تناوب اصلی یا اسالی گویند.

Principal period

Fundamental

دوره تناوب اصلی ندارد چون کمترین مقدار n را می توان مشخص کرد.

شرط تمام به شرط آنکه:

توابع v,u( a,b ) عمود بر یکدیگر هستند.

فرض می کنیم تابع یک تابع متناوب است.

برای اثبا ت طرفین در

یا

مثال:

پس باید جداگانه حساب شود.

نقط اختیاری

جلسه دوم:

تابع پیوسته تکه ای Piecewise continuou function

تابع را در بازه پیوسته تکه ای می گویند هرگاه پیوستن بازه را به زیر بازه های کوچکتر مانند:

کرد به قسمی که(شرایط تابع تکه ای)

الف)تابع در هر کدام از زیر بازه ها پیوسته باشد

ب) حد چپ و حد راست تابع در هر کدام از زیربازه ها مقدار معینی باشد.