تحقیق راهسازی پل گلدن گیت دروازه طلایی سانفرانسیسکو 36 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 35

تحقیق راهسازی

موضوع:

پل گلدن گیت

دروازه طلایی سانفرانسیسکو

استاد:

مهندس فدوی

دانشجو:

حمزه عباسی

فهرست مطالب

مقدمه 3

پل ها و انواع آن 5

تعریف پل 5

تاریخچه پل 5

نگهداری پل 6

مشخصات چند پل مشهور جهان 7

پل معلق: 14

اولین پل معلق فلزى 14

مشخصات پل معلق 17

انواع پلهای معلق 20

گلدن گیت " پل پرواز به جهانی دیگر 21

پل گلدن‌گیت 22

یک بحث اجتماعی 29

یک‌ جنجال‌ جدید 30

جنون‌ آنی‌ 31

نتیجه‌گیری 33

منبع: 35

آشنایی با مهندسی پل

مقدمه

بشر همواره دنبال راهی برای حمل و نقل کالا از محلی به محل دیگر بوده است. حمل و نقل از طریق رودخانه توسط قایق‌های اولیه، اولین روشی بود که بشر بدان دست یافت. هرچند که امروزه نیز حمل و نقل رودخانه‌ای یا دریایی، ارزانترین نوع حمل و نقل می‌باشد، لیکن باید به این نکته توجه داشت که رودخانه یا دریا در هر امتداد و مسیر دلخواه وجود نداشته و بشر ناگزیر به استفاده از راه‌های زمینی بوده است. اولین راه‌های زمینی ساخته شده، شاید راه‌های ارتباطی بین چند روستا باشد. گسترش شهرنشینی و بوجود آمدن حکومت‌های مرکزی، از نقطه نظرهای اجتماهی، سیاسی، نظامی و اقتصادی، بشر را ناگزیر به ایجاد راه‌های زمینی طولانی نموده است.

وجود دو راه ارتباطی شاهی از شهر سارد در کنار دریای اژه به شوش پایتخت مخامنشی به طول تقریبی 2700 کیلومتر با کاربرد سیاسی ـ نظامی و جاده ابریشم از مرز چین تا بندر انطاکیه در کنار دریای مدیترانه با کاربرد اقتصادی، از مثال‌های بارز این مدعا می‌باشند.

هرچند که در حمل و نقل‌های اولیه با استفاده از اسب و قاطر و شتر، برای عبور از دره‌ها و رودخانه‌ها احتیاج به تمهدیات خاصی نبوده و عبور از این موانع هرچند که به دشواری، ولی به طریق صورت می‌گرفت. لیکن لزوم سرعت بیشتر در ارتباطات و همچنین سنگین‌تر شدن محمولات و استفاده از وسایل حمل و نقل پیشرفته‌تر نظیر گاری و امثال آن، سرانجام روزی بشر را به این فکر انداخت که برای عبور از دره و رودخانه‌ها، معبری ایجاد نماید که امروزه به آن پل می‌گوییم. امروزه نقش راه‌های شوسه و آهن، در ساختار اجتماعی و سیاسی یک کشور بر هیچ کس پوشیده نیست. برای حمل کالا از نقاط تولید به مصرف، از بنادر به مراکز توزیع، از مزارع به کارخانه‌ها و شهرها، ارتباط روستا به روستا، شهر به شهر و غیره. بشر احتیاج به راه‌های دسترسی سریع و ایمن دارد. لازمه هر راه سریع، عبور آسان و مطمئن آن از عوارض طبیعی مثل رودخانه‌اه و دره‌ها می‌باشد که این کار توسط پل انجام می‌شود. هرچه سرمایه‌گذاری اولیه در ساخت پل بیشتر باشد، هزینه‌های استهلاک وسایل نقلیه و زمان، در آینده کمتر خواهد بود. به عنوان مثال اگر با سرمایه‌گذاری اولیه بشر و تکنیک بالاتر به عوض عبور دره از طریق یک راه طولانی و خطرناک پیچ در پیچ از بالا به پایین و از پایین به بالای دره، بتوان یک پل با دهانه‌ای به عرض دره ایجاد نمود که وسایل نقلیه به طور مستقیم از دره عبور نمایند، ملاحظه می‌گردد که چه صرفه‌جویی‌هایی در آینده امکان‌پذیر خواهد بود.

علاوه بر مسائل اقتصادی ـ‌ سیاسی و اجتماعی، پل‌ها نقش استراتژیک و تعیین کننده در مسائل نظامی دارند. از این لحاظ است که در تاریخ جنگ‌ها یکی از اهداف مهم، بمباران‌های هوایی و عملیات تاخیری، پل‌های استراتژیک می‌باشد.

از لحاظ تاریخی، اولین پل‌ها، تیرهای ساده از سنگ یا چوب بودند که بر روی پایه‌های سنگی در روی رودخانه انداخته می‌شدند. در دهانه‌های بزرگ این تیرها توسط الیاف به صورت معلق درمی‌آمدند، اما به عنوان ردپای واقعی تاریخی باید به دنبال پل‌های طاقی بود. تحقیقات باستان‌شناسی استفاده از طاق را به عنوان یک سازه به 4000 سال قبل از میلاد مسیح در خاورمیانه نسبت می‌دهند. لیکن اولین استفاده از طاق به عنوان پل در اسمیرنای ترکیه به تاریخ 900 سال قبل از میلاد مسیح نسبت داده می‌شود. در میان اقوام اروپایی رومیان پیشتاز استفاده از طاق‌های سنگی به عنوان سازه باربر در ساختمان‌ها و پل می‌باشند. اولین پل طاقی (قوسی) سنگی ساخته شده رومی، پل سولارس بر روی رودخانه تورون با قدمت 700 سال قبل از میلاد مسیح می‌باشد. در کارهای رومی بین سال‌های 400 تا 800 بعد از میلاد، یک دوران فترت دیده می‌شود.

در میان اقوام شرقی، ایرانیان، هندیان و چینیان، پیشتازان و صاحبان فن و هنر معماری می‌باشند. در سفرنامه مارکوپولو، از پل‌های بسیار برجسته و عالی که به تعداد زیاد در چین وجود داشته، توصیف شده است. مدارک مکتوب، دلالت بر وجود یک پل معلق با زنجیرهای چدنی در قرن هفتم بعد از میلاد در هندوستان دارند.

کلیدهای طلایی تربیت فرزندان

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 33 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

مقدمه

از اهداف عالی تمام پیامبران الهی، تعلیم و تربیت بشر است که در قرآن کریم به تزکیه بشر تعبیر شده است، انسان به واسطه تزکیه و تربیت صحیح می تواند پله های موفقیت و انسانیت و عبودیت و بندگی را براحتی بپیماید، افراد موفق که خدمات ارزنده ای به بشریت ارائه کرده اند از تربیت صحیح برخوردار بوده اند و افراد شرور که در جامعه دچار انواع و اقسام جنایت و خیانت، قتل، دزدی، تجاوز و... شده بر اثر عدم تربیت صحیح بوده است اگر نگرش کوتاه بر زندگی افراد شرور داشته باشیم به خوبی به این نکته خواهیم رسید که آن ها از دوران کودکی و نوجوانی و جوانی تحت تربیت صحیح قرار نگرفته اند، جوانانی که به اعتیاد آورده اند، جوانانی که دچار بزهکاری شده اند، سرقت کرده اند مرتکب جنایت قتل و تجاوز شده اند. عامل اصلی جرمشان خانواده و عدم توجه پدر و مادر به تربیت آن ها بوده است گاهی اعتیاد خانواده، گاهی طلاق و جدایی پدر و مادر، گاهی جهل والدین و گاهی محیط زندگی از عوامل اصلی شرارت و جنایت آن ها بوده است والدینی که از الفبای چگونگی تربیت فرزندان اطلاعی نداشته اند والدینی که از تربیت فرزندان خود غافل بوده اند، عامل اصلی بدبختی آنها بوده اند و هیچ کس را نباید جز خود به خاطر تصورشان مذمت نمایند. کتاب حاضر حاصل تلاش مولف در جهت بازگویی کلیدها و تکنیک های طلائی تربیت برتر با استناد از منابع معتبر در جهت پرداختن به مسائل تربیتی نوجوانان و جوانان می باشد امید است که مورد رضای حضرت دوست و قابل استفاده برای والدین محترم در جهت پرورش و تربیت صحیح و اصولی فرزندان عزیزشان که میوه باغ زندگی آنهاست قرار گیرد.

هرگز در حضور فرزندان دروغ نگوییم

همان گونه که دروغ گفتن به فرزندان زشت و ناپسند است دروغ گفتن در حضور فرزندان نیز زشت و ناپسند است سعی کنید در هر شرایطی راست گویان را از دست ندهید. عامل موفقیت انسان هایی که به مقامات عالی و کمالات رسیده اند، صداقتی بوده که در زندگی شان موج می زده است وقتی پدر یا مادری در حضور فرزندان لب به سخن دروغ می گشاید و فرزند شاهد این دروغ گویی است از پدر و مادر متنفر می شود.

سر منشا دروغ عجز است و عوامل دیگری چون :

1- ضعف ایمان 2- عدم اعتقاد به آخرت 3- غافل بودن از عذاب الهی

4- شهوت زودگذر 5- ترس از فقر 6- شدت علاقه به جامعه و مقام 7- خود بزرگ بینی 8- احساس حقارت و کمبود شخصیت 9- معاشرت با افراد ناصالح و دروغگو

از به کار بردن الفاظ رکیک درباره ی خود یا دیگران در حضور فرزندان خودداری نمائید.

زن و شوهر باید حدود و مقررات خانواده خودشان را مراعات نمایند و از به کار بردن کلمات و الفاظی که ممکن است موجب بی حرمتی نسبت به طرف مقابل باشد پرهیز کنند حرف هایی که در شأن خانواده نیست به زبان نیاورند و از اهانت و تندی و تحقیر نسبت به هم دیگر پرهیز نمایند حتی از به کار بردن الفاظ رکیک و ناشایست درباره ی دیگران پرهیز کنند. بچه ها کلماتی را که پدر و مادر به زبان می آورند را زود یاد می گیرند و برای دیگران به کار می برند به خصوص کودکان که تأثیرپذیری آن ها از پدر و مادر خیلی زیاد است. زن و شوهر باید هم دیگر را با الفاظ محبت آمیز و القاب پسندیده صدا بزنند تا فرزندانشان نیز از آن ها پیروی کنند و مودب بار آیند اگر پدر یا مادری نتوانست زبان خودش را کنترل کند و از الفاظ و القاب ناشایست نسبت به همسر یا فرزندش استفاده نمود بی شک اولین تأثیر آن روی فرزندش خواهد بود که این لفظ را به کار برد و نتیجه ی آن جز بی تربیتی و دور شدن از ادب نخواهد بود.

در حضور فرزندان بدگویی نکنید

بدگویی پشت سر دیگران از اخلاق مذموم و ناپسند است. بدگویی، غیبت است یا تهمت و در هر صورت گناه می باشد و سبب مواخذه الهی خواهد شد. بخصوص اگر آن کس سر او بدگویی می کنید از نزدیکان و دوستان باشد. پشت سر دیگران حرف زدن تأثیر سوئی بر فرزندان خواهد گذاشت آن ها زود تأثیر پذیرفته و حرف های پدر و مادر را تکرار خواهند کرد.

قرآن مجید به صراحت از غیبت کردن نهی فرموده و با تعبیری تهدید آمیز انسان را از این صفت زشت، برحذر می دارد.

رسول گرامی اسلام راجع به غیبت چنین می فرماید : «الغیبه اََشَدُ من الزنا»

در حضور فرزندان هرگز از قانون تجاوز ننمائید

رعایت قانون و احترام به آن از اموری است که هرشخصی طبق شخصیت و تربیت خودش به آن پایبند می باشد. وجود قانون و مقررات در جامعه سبب نظم امور و رفاه در جامعه می باشد. کسانی که به قانون بی توجهی می کنند و آن را نقض می کنند دچار مشکل بوده و منافع خودشان را در خطر می بینند و برای حفظ موقعیت خودشان به قانون شکنی می پردازند پدر و مادری که خواستار خوشبختی فرزندان خود هستند همواره باید سعی شان بر حفظ حریم قانون باشد و فرزندان خود را با قانون آشنا سازند و خود نیز به قانون احترام می گذارند.

پدر و مادر وظیفه دارند فرزندان خود را با قانون آشنا کنند چون پایبندی به قانون سبب آرامش و انضباط فرد در همه ی امور خواهد شد اما اگر خود پدر و مادر نسبت به قانون بی اعتنا بودند و آن را مورد توجه قرار ندادند و از آن تجاوز کردند سوئی در رفتار فرزندان خواهند گذاشت که معلوم نیست نتیجه آن چه خواهد شد و رعایت نکردن قانون چه سرنوشتی برای آن ها رقم خواهد زد انسان باید همیشه مطیع قانون بوده و هرگز از آن تجاوز نکند تا فرزندانشان از آن ها تأثیر گرفته و دچار بی قانونی و قانون گریزی نشوند.

در حضور فرزندان از رانندگی تند و پرشتاب پرهیز کنید

اگر پشت ماشینی قرار گرفتید و فرزندان شما نیز همراه شما هستند حتماً مقررات و قوانین راهنمایی را رعایت کنید و اصولی رانندگی نمائید.

از سبقت غیر مجاز ، عبور از چراغ قرمز و تند راندن و شتاب کردن بپرهیزید بدانید که اگر امروز شما پشت فرمان قرار دارید فردا فرزندان شما پشت فرمان قرار خواهند گرفت اگر شما به مقررات احترام گذاشتید و با اطمینان راندید رانندگی شما درسی برای فرزندانتان خواهد بود آن ها نیز با اطمینان و حوصله و پرهیز از تندی و شتاب

مقاله درمورد اصل طلایى غلبه بر اضطراب امتحان

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 2

اصل طلایى غلبه بر اضطراب امتحان

مریم وادى پوربرخى فکر مى کنند اضطراب امتحان امرى غیرطبیعى و مانع یادگیرى است، اما اضطراب، در حد متعادل، قابل قبول و حتى ضرورى است. کارشناسان مى گویند اگر دانش آموزان امتحان را ارزیابى نتیجه فعالیت یک ساله خود بدانند، راحت تر با این مسأله کنار مى آیند و اضطراب آنها تا این حد طبیعى است، اما وقتى بیش از حد دچار اضطراب شوند، این امر مانع یادگیرى آنها مى شود.گذشته از این، برخى والدین در ایام امتحانات فرزندان شان، بیشتر دچار استرس شده و آرامش خود را از دست مى دهند و این ناآرامى ها را به دانش آموزان نیز منتقل مى کنند.۱ـ شب امتحان زمان مرور است نه یادگیرى«حسن زارعیان»، کارشناس تعلیم و تربیت در گفت وگو با «ایران» افزایش علاقه و انگیزه دانش آموزان و یادگیرى مناسب مهارت هاى تحصیلى را دو عامل ضرورى براى بهتر درس خواندن دانش آموزان مى داند.او با اشاره به این که در هر مطالعه اى براى امتحان، مراحل خاصى از سوى کارشناسان و مشاوران توصیه مى شود، مى گوید: «دانش آموزان باید همه جزوات و تمرین هاى مربوط به دروس خود را به خوبى مطالعه کنند تا آمادگى لازم را در هنگام امتحان به دست آورند. آنان نباید تنها به جزوات معلمان بسنده کنند، بلکه بهتر است کتاب هاى درسى را نیز به روش مرور سریع مطالب جزوات بخوانند.»زارعیان همچنین رجوع به سؤالاتى که دانش آموزان در طول سال تحصیلى در مورد آنها با مشکل مواجه بوده اند را یکى از راه هاى بهبود یادگیرى مى داند و مى گوید: «شب امتحان زمان یادگیرى نیست و تنها باید به دوره کردن و مرور یادگیرى ها اختصاص یابد. بنابراین حل نمونه سؤالات امتحانى طراحى شده از سوى معلمان و طراحى نمونه سؤال از سوى دانش آموزان براى تعمیق و بهبود یادگیرى بسیار مؤثر خواهد بود.»شیوه مطالعه را تغییر ندهیدعباس تحریرى ، کارشناس مسئول مشاوره سازمان آموزش و پرورش شهر تهران نیز به این موضوع اشاره مى کند که دانش آموزان در ایام امتحانات نباید تغییرى در روش هاى سابق مطالعه خود بدهند. او درک و فهم سؤالات، تمرین و تکرار مطالب دروس و به عبارتى خواندن به شیوه «پس ختام» را از شیوه هاى درس خواندن مى داند و مى گوید: «آن دسته از دانش آموزانى که تاکنون شیوه خاصى براى درس خواندن نداشته اند، مى توانند با پرسش و پاسخ از خود، به یادگیرى بهتر مطالب کمک کنند.»والدین آرام باشند!کارشناس مسئول مشاوره سازمان آموزش و پرورش شهر تهران با تأکید بر این که گاهى ناآرامى هاى والدین بیشتر از دانش آموزان است و این امر براى دانش آموزان مشکل ساز مى شود، مى گوید: «فضاى خانه باید در ایام امتحانات آرام باشد و نباید دانش آموزان را با تهدیدو پرخاش وادار به درس خواندن کرد.»زارعیان نیز در این باره مى گوید: «اولیا باید در ایام امتحانات فضاى خانه را شاد نگه دارند. آنان باید از مشاجره و برخوردهاى لفظى، بویژه با فرزندان خوددارى کنند و دید و بازدیدهاى خود را به تعویق بیندازند.»وى ادامه مى دهد: «توجه به توانایى هاى دانش آموزان به جاى نقاط ضعف آنها در ایام امتحانات بسیار اهمیت دارد، بنابراین باید به توانایى هاى دانش آموزان تأکید بیشترى داشت و انتظارات را با توانایى دانش آموزان هماهنگ کرد.»زارعیان با نادرست خواندن مقایسه عملکرد دانش آموزان با همتایان خود از سوى والدین، خاطرنشان مى کند: «هیچ گاه حق نداریم عملکرد فرزندان خود را با دیگران مقایسه کنیم، چرا که از نظر روانشناسى باید میزان پیشرفت هر فرد را با توجه به عملکرد گذشته وى سنجید.»تحریرى نیز بر لزوم کاهش رقابت هاى ناسالم در میان دانش آموزان تأکید مى کند و مى گوید: «حذف ترس از شکست در دانش آموزان، ملاک قرار گرفتن نمره در امتحانات، دورى از به هم ریختگى و اغتشاش فکرى دانش آموزان، کنترل فشارهاى روحى و افزایش اعتماد به نفس دانش آموزان نیز از عوامل مهم و مؤثر در کاهش اضطراب دانش آموزان است.»تغذیه مناسب، یادگیرى را افزایش مى دهددر این میان توصیه هاى دیگرى هم مانند جدا بودن فضاى درس خواندن با محل استراحت دانش آموزان، تشخیص زمان مناسب مطالعه با توجه به خصوصیات و عادات جسمى و روحى افراد، دورى از فعالیت بیش از حد و پشت سر هم، استراحت به موقع و... از سوى کارشناسان مطرح مى شود، اما نباید منکر تأثیر برنامه غذایى منظم در کنار برنامه درسى مناسب، بر سرعت و دقت یادگیرى دانش آموزان شد.دکتر مسعود دادگر، متخصص تغذیه در این باره با اشاره به این که تغذیه دانش آموزان در ایام امتحانات متصل به تغذیه عمومى آنهاست، توضیح مى دهد: «استفاده از نان، غلات، لبنیات، گوشت، تخم مرغ، میوه و سبزى، باید همواره مورد توجه قرار گیرد.» وى با تأکید بر این که خوردن صبحانه نقش مهمى در به یادآورى مطالب و تقویت حافظه دارد، اظهار مى کند: «صبحانه باید محتوى مواد قندى باشد و بر این اساس توصیه مى شود از آبمیوه، میوه، نان، پنیر، تخم مرغ، عسل یا مربا به عنوان صبحانه استفاده شود.» وى به اهمیت خواب مناسب در شب قبل از امتحان اشاره و بیان مى کند: « دانش آموزان توجه داشته باشند که از شام سنگین و حاوى مواد نشاسته اى و برنج، نان، ماکارونى، سیب زمینى، گوشت، تخم مرغ، مرغ و... به میزان کمى استفاده کنند.»به گفته دادگر، ماست، دوغ و چند برگ کاهو، دانش آموزان را براى داشتن خواب بهتر کمک مى کند. وى با بیان این که ترکیباتى چون ید و استفاده درازمدت از پروتئین، اسیدهاى چرب، امگا،۳ میگو و ماهى در تقویت یادگیرى مؤثر هستند، خاطرنشان مى کند: «با توجه به احتمال افت قند در هنگام امتحانات یا زمان مطالعه بهتر است دانش آموزان از خوردنى هاى حاوى قند در جلسه امتحان استفاده کنند.»کارشناسان معتقدند: یکى از راه هاى کاهش اضطراب شب امتحان، اطلاع والدین از وضع درسى دانش آموزان در طول سال تحصیلى است. آنان معتقدند باید والدین دانش آموزان همواره از آخرین وضع تحصیلى فرزندان خود اطلاع داشته باشند تا بتوانند بستر مناسبى را براى تحصیل بهتر دانش آموزان و پیشگیرى از انباشته شدن مطالب درسى آنها فراهم کنند.

دانلود مقاله خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 61

خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

1-1- تاریخچه

لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد . وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و ... مسافرت نمود . فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است . وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید :

« نه رقم هندی وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 که به وسیله آنها و همچنین‌علامت . که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت » .

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‌ایم . هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است .

2-1- دنباله فیبوناچی چیست :‌

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود . در یکی از همین مسابقات که در سال 1225 در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد .

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند . حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .

فرض کنیم Xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، می دانیم که X2=1,X1=1 ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (Xn ) . اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با Xn-1 پس خواهیم داشت :

X1 = 1 , X2=1 , Xn+1=Xn+Xn-1

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

1,1,2,3,4,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است .

3-1- عدد طلایی چیست :‌

پیشینه توجه به این عدد نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد. اقلیدس در قضیه سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است .

لوکا پیشولی (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Propotion ) تالیف کرد . وی در آن نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است .

در این نوشته نماد یونانی (Phi ) Ф را برای عدد طلایی برمی گزینیم . هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند ( Tau ) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند .

4-1- تعریف عدد طلایی :

عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم. در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست خواهیم یافت .

Phi2 = Phi + 1

Phi = 1 + 1/Phi

اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت :‌ Phi2 = Phi +1

عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد .

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (1) را حل کنیم . می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد :‌

داریم )

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلایی برابر خواهد بود با ، اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم .

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند ، به عنوان مثال :‌

5-1- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم .

1- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j ) به طوریکه j ,i هر دو عدد صحیح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (0,0 ) که در تمام خطوط با معادلی کلی y=ax مشترک می باشد.

حال اگر نمودار این خط را رسم کنیم نکته ای که قابل توجه می باشد نزدیکترین نقاط با مختصات ( i , j ) به طوریکه i , j هر دو صحیح باشند به این خط است . در حال حاضر فرض بر آن است که این خط برای تعریف شده هرچند که این مطلب تاثیر چندانی روی استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روی اعداد مثبت آغاز کرده ایم اینطور فرض می نمائیم .

برای یافتن نقاط نزدیک به این خط با مختصات صحیح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسی قرار می دهیم . اگر از نقطه ابتدایی که همانطور که در فوق آمد استثنا میباشد صرف نظر نمائیم . به نظر می رسد نزدیکترین نقطه (1,1 ) می باشند . نقطه بعدی( 2,1) است . پس از آن نقطه (3,2 ) به خط نزدیک می باشد و به ترتیب زیر ادامه خواهدیافت .

(1,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی می باشد، باکمی دقت در مختصات این نقاط در خواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می کند . این نقاط را نقاط فیبوناچی می نمامیم .

2- دومین مطلبی که در زمینه ارتباط Phi با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است :‌