مقاله درمورد آنالیز پروفایل میدان

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 25

آنالیز پروفایل میدان

- روش طیف زاویه ای :

نظریه اساسی روش طیف زاویه چنین بیان می شود که میدان در صفحه داده شده را می توان بصورت یک توزیع زاویه ای از امواج صفحه ای نشان داد . اگرچه چنین روشی برای برخی مسائل خاص بسیار پیچیده تر از روش انتگرالی است ، ولی بایستی در نظر داشته باشیم که بعنوان مثال مسأله تعیین تفرق از یک جسم کروی و یا سیلندر نامحدود از طریق موج صفحه ای بسیار ساده تر حل می شود . بنابراین با توصیف الگوی تابش از یک مبدل با استفاده از توزیع زاویه ای امواج صفحه ای کل مسأله تعیین میدان متفرق شده از یک سیلندر یا کره حل می شود .

طیف مکانی یک مبدل پیستونی :

یک مبدل پیستونی با شعاع a و در صفحه در نظر می گیریم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحی را با نشان داده و فرض می کنیم که در سطح مبدل ثابت و در سایر نقاط خارج صفحه سرعت صفر می باشد .

ر این صورت چنین توزیع متقارن استوانه ای را می توان با بیان کرد که در آن برای و در سایر نقاط صفر است .

عبارت طیف زاویه ای پتانسیل سرعت را برای یک مبدل پیستونی می توان به صورت زیر بیان نمود .

که در آن . و حال از تقارن استوانه ای جهت تبدیل نسبت ها استفاده می کنیم :

(1.‌3)

بنابراین طیف زاویه ای را می توان بصورت زیر نوشت :

با استفاده از تابع سبل این عبارت به فرم زیر کاهش می یابد :

که یک تابع استوانه ای سبل از مرتبه صفر می باشد . همچنین این تابع را می‌توان بصورت تابع از شناسایی کرد . برای یک دیسک با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت نیز طیف بصورت زیر می باشد :

(2،3)

طیف زاویه ای در مختصات کروی :

جهت بدست آوردن عبارت طیف زاویه ای در مختصات کروی ، نیاز به استفاده از تبدیل نسبتها می باشد :

(5.‌3)

نکته قابل ذکر اینکه وقتی می باشد یک مؤلفه موهومی خواهد بود ، که در این صورت زاویه نیز مختلط خواهد شد . بنابراین می توان نشان داد که :

(6.‌3)

در این صورت تابع چگالی طیف بصورت زیر تعریف می شود :

(7.‌3)

که و . بنابراین کانتورها بر روی صفحه مختلط ، که با استفاده از تئوری انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، برای محور حقیقی از و برای محور موهومی از0 تا می باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلی و ، طیف زاویه ای را بصورت زیر می توان نشان داد :

(8.‌3)

که در شکل (2.‌3) برای مقادیر حقیقی یعنی مولفه های همگن نشان داده شده است.

پروفایل میدان :

پروفایل فشار میدان را می توان با در نظر داشتن اینکه متقارن استوانه ای است ، درک نمود . بنابراین در مختصات استوانه ای () ، فشار را می توان بصورت نوشت .

با ترکیب روابط (6.‌3) و (8.‌3)و در نظر داشتن فشار فشار چنین بدست می آید :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

با در نظر گرفتن و ، که قسمت موهومی می باشد ، عبارت بالا بصورت زیر در می آید :

(9.‌3)

که ترم های اول و دوم بترتیب معادل مولفه‌های همگن و ناپایدار می باشند . ارزیابی این معادله نشان می دهد که مؤلفه ناپایدار اثر بسیار مهمی بر روی پروفایل میدان نزدیک مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .

این اثر برای مبدل با شعاع در شکل 3.‌3 نشان داده شده است.

روش تبدیل فوریه :

نکته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفایل میدان ، قابلیت محاسبه پروفایل بر روی صفحه ای دیگر غیر از صفحه داده شده از میدان داده شده می باشد . این قضیه با حل دو مثال از مبدل دیسکی دایره‌‌ای که بصورت یکنواخت تحریک می شود ، بیان می گردد .

رش آنالیتیکال :

در صورت تعیین میدان مؤلفه ناپایدار می تواند حذف شود و محاسبه به جذب طیف زاویه ای بر روی صفحه معین و شناخته شده و تابع تبدیل فرکانس مکانی می انجامد و سپس بهبود الگوی میدان با تبدیل معکوس بدست می آید . محاسبات با استفاده از تابع تبدیل فرکانس مکانی مبدل پیستونی آغاز می شود .

(10.‌3)

(11.‌3)

S طیف زاویه ای و H تابع تبدیل فرکانس مکانی از صفحه به صفحه z می باشد . برای یک مبدل دیسکی با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت ، بر روی صفحه z ، با استفاده از روابط (3.‌3) ، (10.‌3) و (11.‌3) داریم :

(12.‌3)

بنابراین تبدیل فوریه معکوس z-D طیف فرکانسی با استفاده از معادلات تبدیل مختصات در (1.‌3) و در نظر داشتن تبدیل فوریه معکوس z-D برای پتانسیل سرعت پایه ریزی می شود . سپس مراحل ذکر شده در قسمت 1.‌1.‌3 با توجه به اجرا شده و پتانسیل سرعت بصورت زیر ساده می شود .

(13.‌3)

حد بالای انتگرال برای خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپایدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراین فشار بصورت زیر تعریف می شود .

(14.‌3)

این عبارت بر روی محور (on-axis) بصورت زیر ساده می شود .

(15.‌3)

شکل a.4.‌3 فشار میدان ر ا بر روی محور و شکل b.4.‌3 با استفقاده از رابطه (14.‌3) نشان می دهد.

تبدیل فوریه دوبعدی عددی :

در ثال قسمت قبل تقارن استوانه ای مبدل دیسکی اجازه می دهد تا پروفایل میدان بصورت عددی از یک انتگرال ارزیابی شود .برای مبدلهای پیچیده تر و بدون تقارن نیز می توان از روش طیف زاویه ای استفاده کرد ، ولی بایستی از تبدیل فوریه دوبعدی بهره جست . مطابق بخش 3.‌3.‌2 ، برای توزیع سرعت داده شده بر روی صفحه z=0 ، مراحل زیر را باید طی نمود :

(1) اعمال 2-DFFT سرعت بر روی صفحه منبع .

(2) ضرب این عبارت در تابع تبدیل H.

(3) گرفتن ZD-FFF معکوس .

مفاهیم اولیه استاندارد میدان آکوستیک 27 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 27

مفاهیم اولیه استاندارد

میدان آکوستیک

کمیت فشار در فراگیره در حالت تعادل در همه نقاط آن یکسان می‌باشد. چنانچه در چنین فراگیره حالت تعادل در یکی از نقاط آن متزلزل شود (به عنوان مثال فشار در یک نقطه بیشتر می‌شود) این حالت ناپایدار در همه جهات در فراگیره منتشر شده به شکل موج پدیدار می‌شود (نظیر افتادن سنگ در آب آرام).

تندی آوا

تندی آوا که به آن سرعت ذرات فراگیره نیز می‌گویند درگیر با فشار آوا و اندازه وابسته به هم می‌باشند. تندی آوا خود وابسته به بسامد و دامنه نوسان ذرات است که مقداری متغیر ولی تکراری است. به این معنی که تندی آوا به سرعت حرکت ذرات فراگیره در حول نقطه حالت تعادلشان گفته می‌شود. هرچه انرژی ساماندهی آوا (یا به بیان دیگر بلندی آوا) بیشتر باشد به همان نسبت نیز تندی و فشار آوا بیشتر می‌شود.

1- انتشار آوا در فضای باز و بسته

چگونگی انتشار آوا در یک فضای باز که دیواری آنرا محدود نکرده باشد تنها بستگی به ساختمان هندسی سرچشمه دارد. از این رو کاهش شدت آوا (انرژی آکوستیکی) که در هر ثانیه از یک مترمربع می‌گذرد،‌با فاصله آن از سرچشمه بستگی پیدا می‌کند و تنها از ابعاد هندسی آن تابع است و به فرکانس بستگی ندارد « تباهی هندسی انتشار آوا » نامیده می‌شود. افزون بر تباهی هندسی آوا کاهش‌های دیگری مانند تباهی در فضا (تباهی هوا – تباهی بخار آب و مه – تباهی باد...) یا تباهی در زمین (تباهی در گل و گیاه...) نیز به شدت آوا در کاهش می‌دهند. از این رو برای پیشگیری از آزاد آوا (نوفه) با بهره گیری از تباهنده‌های نامبرده یا تباهنده‌های ویژه دیگر (مانند دیوارک‌های بازدارنده یا گذراندن سرچشمه در ژرفای زمین) کوشش می‌شود که آزاد نوفه را کاهش دهند.

آوا به شیوه چشمگیری کاهش می‌یابد. زیرا اندازه این بازدارنده‌ها (کوه و تپه) چندین بار بزرگتر از طول موج آواهای بم می‌باشند. از این رو به خوبی می‌توان دریافت که چرا آوای قطاری که از دره‌ها و گودی‌ها می‌گذرد کمتر آزا دهنده است تا قطاری که از دشت و کوه می‌گذرد. همچنین اتاق‌های سمت حیاط خانه‌ها بیش از اتاق‌های سمت خیابان آرامش دارند.

شکل 1: بازدارندگی آوا – Q سرچشمه آوا – B شنونده - h بلندی موثر دیوار φ زاویه سایه

دیوارهای دراز و بلند ساخته شده در مقابل خطوط راه آهن و اتوبان هایی که از برابر خانه‌ها و دهات می‌گذرند اثر بازدارنده آوا را از مناطق مسکونی دارا می‌باشند.

نوفه

همچنانچه در اسیلوگرام آوائی به جای خطوط مشخص،‌نوار ناموزونی ملاحظه می‌شود آن آوا دیگر دارای اجزاء مشخص و هارمونیک نیست و در شکل وجود خطوط مشخص هم دیگر این خطوط دارای رابطه ای با یکدیگر و نغمه اصلی نمی باشند و به همین جهت این آوا را که خالی از لطافت و دلپذیری است نوفه می‌نامیم.

جدول مقایسه تراز بلندی آوا :

برای مقایسه و درک بهتر رابطه احساس شنوایی و تراز بلندی آوای محیط و توجه به جدول زیرین می‌تواند راهنمای بسیار مناسبی باشد.

سرچشمه آوا

تراز آوا

احساس آوا

هواپیسمای ملخی در 5متری

130 (C) dB

غیرقابل تحمل

a

پتک کمپرسی در 1متری

120(C) dB

غیرقابل تحمل

پرچ کاری دیگ بخار

110(C) dB

غیرقابل تحمل

بوق اتومبیل در 5متری

100(C) dB

خیلی بلند

b

کامیون در 5متری

90 (C) dB

خیلی بلند

رادیو (بلند)

80 (B) dB

خیلی بلند

گفتگو در یک متری

70 (B) dB

بلند

c

اتومبیل سواری در 10متری

60 (B) dB

بلند

جوی آب آرام

50 (A) dB

آهسته

d

ناحیه مسکونی (بدون ترافیک)

40 (A) dB

آهسته

باغ آرام

30 (A) dB

خیلی آهسته

تیک تیک ساعت (مچی)

20 (A) dB

خیلی آهسته

زمزمه

10 (A) dB

غیرقابل شنیدن

آرامش کامل

0 (A) dB

غیرقابل شنیدن

a: نوفه ترافیک هوائی b: نوفه صنایع c: نوفه ترافیک زمینی

d: نوفه محیط مسکونی

تحقیق در مورد میدان مغناطیسی زمین

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 27 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

مقدمه

پس از پایان جنگ جهانی دوم، دولتها برای جبران خسارت جنگ روی به منابع طبیعی آوردند با شروع جنگ سرد مکتشفان بدنبال منابع مطمئن در کشورهای نزدیک آمریکا بودند که کانادا بهترین کشور بود هم از نظر وسعت و هم از نظر منابع معدنی.

فلزات پایه مانند مس، سرب، روی و نیکل، از طرفی شرایط بد آب و هوایی از قبیل سرمای زیاد و یخبندان در قسمتی از سال اکتشافی را سخت می کرد و مهمترین عامل فاکتور زمان بود که تأخیر در هر مرحله باعث موکول شدن ادامه عملیات به فصل بعدی شود از طرفی روشهای کند ژئوفیزیکی نیز به این تأخیر کمک می کرد.

ژئوفیزیک به دلیل ویژگیهایی که دارد کم هزینه بودن و بیشترین سرعت بهترین راه برای برداشت بود اما متدهای گراویتی بدلیل دیگر مشکلات کنار گذاشته شد و روشهای قدیمی مغناطیس بدلیل وجود منبع میدان، وجود الکترود و تفسیر پیچیده کمتر استفاده شد. همین عوامل بعدها باعث توسعه روشهای ژئوفیزیکی شد، اولین تلاش برای استفاده از هواپیما در برداشت های EM توسط (1946) Hans land berg و این سیستم شامل 2 سیم پیچ که در کابین هلیکوپتر می‎باشد و تنها برای توده های مدفون در عمق 5 متری می‎باشد.

از طرفی با روی کار آمدن کامپیوتر سرعت و دقت محاسبات پیچیده این روش به عنوان سریعترین و بهترین روش بکار گرفته شد.

نیاز به کشف توده های عمیق باعث شد تا پس از دهه 1970 مطالعات و طراحی هایی در این زمینه صورت بگیرد. در این مسیر موفقیتهای (INPUT) (Induced Pulse Transient) (القا پالس زودگذر) چشمگیر بوده در دهه 1980 عمده شرکتهای معدنی بدنبال اکتشاف طلا بودند. در هر حال نیاز اورانیوم و فلزات پایه در نیمه دهه 1980 باعث شد روشهای اکتشاف عمیق استفاده شود شرکتهای Spectrem , Questem , Geotem در سال 1990 اقدام به ارائه این خدمات کردند.

فصل سوم

مبانی مغناطیس سنجی و تئوری

مقدمه:

میدان مغناطیسی زمین از دیرباز نظر محققان را به خود جلب کرده بود. همیشه این حقیقت که سوزن مغناطیسی شده آویزان از نخ همیشه در یک راستا قرار می‎گیرد دانشمندان را به فکر وامی داشت. تا اینکه ژیلبرت نظریه خود را حدود سه قرن پیش مبنی بر اینکه زمین مانند یک مغناطیس بزرگ و تا اندازه ای بی قاعده عمل می‌کند. این نظریه به همراه نظریه نیوتن در مورد گرانش را می‎توان پایه های ژئوفیزیک دانست. در واقع به کمک ژئوفیزیک می‎توان کانسار مدفون در زمین را با اطمینان مدلسازی کرد.

مطالعات ژئوفیزیکی بر مبنای خاصیت فیزیکی مورد اندازه گیری به دو دسته کلی تقسیم می‎شوند. روشهایی که میدانهای طبیعی زمین را اندازه گیری می‌کنند (روشهای استاتیک) که عبارتند از روشهای ثقل سنجی، مغناطیسی سنجی، تلوریک، پتانسیل خودزا و رادیومتری و روشهایی که از میدانهای مصنوعی ایجاد شده استفاده می‌کنند (روشهای دینامیک) که شامل دو دسته مهم می باشند. روشهای الکتریکی و روشهای لرزه نگاری، روشهای استاتیک نسبت به روشهای دینامیک سریع و کم خرج هستند و عموماً در اکتشاف نیمه تفصیلی و شناسایی ساختمانی زمین شناسی استفاده می‎شوند و بیشتر اطلاعات کیفی بدست می دهند. در روشهای دینامیکی با مطالعه تغییرات میدان مصنوعی ایجاد شده در اثر حضور مواد مختلف می‎توان آنالیزهای بهتر و مشخص تری همراه با تفسیرهای کمی و کیفی انجام داد. روشهای دینامیک اغلب وقت گیر و پرهزینه هستند ولی تجارب علمی و نتایج بدست آمده، کاربرد موفقیت آمیز این روشها را ثابت کرده است.

3-1-2- میدان مغناطیسی زمین

شکل میدان مغناطیسی در سطح زمین بطور تقریب معادل شکلی است که با قرار دادن یک آهنربا کوچک ولی پرقدرت در مرکز زمین بوجود می‎آید به شرط آنکه قطب شمال مغناطیسی این آهنربا رو به جنوب بوده و نسبت به محور چرخش زمین مایل باشد. اگر میدان کاملاً منظم بود، خطوط نیرو در قطب محور مغناطیسی قائم و

دانلود تحقیق آنالیز پروفایل میدان

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 25

آنالیز پروفایل میدان

- روش طیف زاویه ای :

نظریه اساسی روش طیف زاویه چنین بیان می شود که میدان در صفحه داده شده را می توان بصورت یک توزیع زاویه ای از امواج صفحه ای نشان داد . اگرچه چنین روشی برای برخی مسائل خاص بسیار پیچیده تر از روش انتگرالی است ، ولی بایستی در نظر داشته باشیم که بعنوان مثال مسأله تعیین تفرق از یک جسم کروی و یا سیلندر نامحدود از طریق موج صفحه ای بسیار ساده تر حل می شود . بنابراین با توصیف الگوی تابش از یک مبدل با استفاده از توزیع زاویه ای امواج صفحه ای کل مسأله تعیین میدان متفرق شده از یک سیلندر یا کره حل می شود .

طیف مکانی یک مبدل پیستونی :

یک مبدل پیستونی با شعاع a و در صفحه در نظر می گیریم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحی را با نشان داده و فرض می کنیم که در سطح مبدل ثابت و در سایر نقاط خارج صفحه سرعت صفر می باشد .

ر این صورت چنین توزیع متقارن استوانه ای را می توان با بیان کرد که در آن برای و در سایر نقاط صفر است .

عبارت طیف زاویه ای پتانسیل سرعت را برای یک مبدل پیستونی می توان به صورت زیر بیان نمود .

که در آن . و حال از تقارن استوانه ای جهت تبدیل نسبت ها استفاده می کنیم :

(1.‌3)

بنابراین طیف زاویه ای را می توان بصورت زیر نوشت :

با استفاده از تابع سبل این عبارت به فرم زیر کاهش می یابد :

که یک تابع استوانه ای سبل از مرتبه صفر می باشد . همچنین این تابع را می‌توان بصورت تابع از شناسایی کرد . برای یک دیسک با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت نیز طیف بصورت زیر می باشد :

(2،3)

طیف زاویه ای در مختصات کروی :

جهت بدست آوردن عبارت طیف زاویه ای در مختصات کروی ، نیاز به استفاده از تبدیل نسبتها می باشد :

(5.‌3)

نکته قابل ذکر اینکه وقتی می باشد یک مؤلفه موهومی خواهد بود ، که در این صورت زاویه نیز مختلط خواهد شد . بنابراین می توان نشان داد که :

(6.‌3)

در این صورت تابع چگالی طیف بصورت زیر تعریف می شود :

(7.‌3)

که و . بنابراین کانتورها بر روی صفحه مختلط ، که با استفاده از تئوری انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، برای محور حقیقی از و برای محور موهومی از0 تا می باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلی و ، طیف زاویه ای را بصورت زیر می توان نشان داد :

(8.‌3)

که در شکل (2.‌3) برای مقادیر حقیقی یعنی مولفه های همگن نشان داده شده است.

پروفایل میدان :

پروفایل فشار میدان را می توان با در نظر داشتن اینکه متقارن استوانه ای است ، درک نمود . بنابراین در مختصات استوانه ای () ، فشار را می توان بصورت نوشت .

با ترکیب روابط (6.‌3) و (8.‌3)و در نظر داشتن فشار فشار چنین بدست می آید :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

با در نظر گرفتن و ، که قسمت موهومی می باشد ، عبارت بالا بصورت زیر در می آید :

(9.‌3)

که ترم های اول و دوم بترتیب معادل مولفه‌های همگن و ناپایدار می باشند . ارزیابی این معادله نشان می دهد که مؤلفه ناپایدار اثر بسیار مهمی بر روی پروفایل میدان نزدیک مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .

این اثر برای مبدل با شعاع در شکل 3.‌3 نشان داده شده است.

روش تبدیل فوریه :

نکته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفایل میدان ، قابلیت محاسبه پروفایل بر روی صفحه ای دیگر غیر از صفحه داده شده از میدان داده شده می باشد . این قضیه با حل دو مثال از مبدل دیسکی دایره‌‌ای که بصورت یکنواخت تحریک می شود ، بیان می گردد .

رش آنالیتیکال :

در صورت تعیین میدان مؤلفه ناپایدار می تواند حذف شود و محاسبه به جذب طیف زاویه ای بر روی صفحه معین و شناخته شده و تابع تبدیل فرکانس مکانی می انجامد و سپس بهبود الگوی میدان با تبدیل معکوس بدست می آید . محاسبات با استفاده از تابع تبدیل فرکانس مکانی مبدل پیستونی آغاز می شود .

(10.‌3)

(11.‌3)

S طیف زاویه ای و H تابع تبدیل فرکانس مکانی از صفحه به صفحه z می باشد . برای یک مبدل دیسکی با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت ، بر روی صفحه z ، با استفاده از روابط (3.‌3) ، (10.‌3) و (11.‌3) داریم :

(12.‌3)

بنابراین تبدیل فوریه معکوس z-D طیف فرکانسی با استفاده از معادلات تبدیل مختصات در (1.‌3) و در نظر داشتن تبدیل فوریه معکوس z-D برای پتانسیل سرعت پایه ریزی می شود . سپس مراحل ذکر شده در قسمت 1.‌1.‌3 با توجه به اجرا شده و پتانسیل سرعت بصورت زیر ساده می شود .

(13.‌3)

حد بالای انتگرال برای خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپایدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراین فشار بصورت زیر تعریف می شود .

(14.‌3)

این عبارت بر روی محور (on-axis) بصورت زیر ساده می شود .

(15.‌3)

شکل a.4.‌3 فشار میدان ر ا بر روی محور و شکل b.4.‌3 با استفقاده از رابطه (14.‌3) نشان می دهد.

تبدیل فوریه دوبعدی عددی :

در ثال قسمت قبل تقارن استوانه ای مبدل دیسکی اجازه می دهد تا پروفایل میدان بصورت عددی از یک انتگرال ارزیابی شود .برای مبدلهای پیچیده تر و بدون تقارن نیز می توان از روش طیف زاویه ای استفاده کرد ، ولی بایستی از تبدیل فوریه دوبعدی بهره جست . مطابق بخش 3.‌3.‌2 ، برای توزیع سرعت داده شده بر روی صفحه z=0 ، مراحل زیر را باید طی نمود :

(1) اعمال 2-DFFT سرعت بر روی صفحه منبع .

(2) ضرب این عبارت در تابع تبدیل H.

(3) گرفتن ZD-FFF معکوس .

آنالیز پروفایل میدان (تحقیق)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 25

آنالیز پروفایل میدان

- روش طیف زاویه ای :

نظریه اساسی روش طیف زاویه چنین بیان می شود که میدان در صفحه داده شده را می توان بصورت یک توزیع زاویه ای از امواج صفحه ای نشان داد . اگرچه چنین روشی برای برخی مسائل خاص بسیار پیچیده تر از روش انتگرالی است ، ولی بایستی در نظر داشته باشیم که بعنوان مثال مسأله تعیین تفرق از یک جسم کروی و یا سیلندر نامحدود از طریق موج صفحه ای بسیار ساده تر حل می شود . بنابراین با توصیف الگوی تابش از یک مبدل با استفاده از توزیع زاویه ای امواج صفحه ای کل مسأله تعیین میدان متفرق شده از یک سیلندر یا کره حل می شود .

طیف مکانی یک مبدل پیستونی :

یک مبدل پیستونی با شعاع a و در صفحه در نظر می گیریم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحی را با نشان داده و فرض می کنیم که در سطح مبدل ثابت و در سایر نقاط خارج صفحه سرعت صفر می باشد .

ر این صورت چنین توزیع متقارن استوانه ای را می توان با بیان کرد که در آن برای و در سایر نقاط صفر است .

عبارت طیف زاویه ای پتانسیل سرعت را برای یک مبدل پیستونی می توان به صورت زیر بیان نمود .

که در آن . و حال از تقارن استوانه ای جهت تبدیل نسبت ها استفاده می کنیم :

(1.‌3)

بنابراین طیف زاویه ای را می توان بصورت زیر نوشت :

با استفاده از تابع سبل این عبارت به فرم زیر کاهش می یابد :

که یک تابع استوانه ای سبل از مرتبه صفر می باشد . همچنین این تابع را می‌توان بصورت تابع از شناسایی کرد . برای یک دیسک با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت نیز طیف بصورت زیر می باشد :

(2،3)

طیف زاویه ای در مختصات کروی :

جهت بدست آوردن عبارت طیف زاویه ای در مختصات کروی ، نیاز به استفاده از تبدیل نسبتها می باشد :

(5.‌3)

نکته قابل ذکر اینکه وقتی می باشد یک مؤلفه موهومی خواهد بود ، که در این صورت زاویه نیز مختلط خواهد شد . بنابراین می توان نشان داد که :

(6.‌3)

در این صورت تابع چگالی طیف بصورت زیر تعریف می شود :

(7.‌3)

که و . بنابراین کانتورها بر روی صفحه مختلط ، که با استفاده از تئوری انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، برای محور حقیقی از و برای محور موهومی از0 تا می باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلی و ، طیف زاویه ای را بصورت زیر می توان نشان داد :

(8.‌3)

که در شکل (2.‌3) برای مقادیر حقیقی یعنی مولفه های همگن نشان داده شده است.

پروفایل میدان :

پروفایل فشار میدان را می توان با در نظر داشتن اینکه متقارن استوانه ای است ، درک نمود . بنابراین در مختصات استوانه ای () ، فشار را می توان بصورت نوشت .

با ترکیب روابط (6.‌3) و (8.‌3)و در نظر داشتن فشار فشار چنین بدست می آید :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

با در نظر گرفتن و ، که قسمت موهومی می باشد ، عبارت بالا بصورت زیر در می آید :

(9.‌3)

که ترم های اول و دوم بترتیب معادل مولفه‌های همگن و ناپایدار می باشند . ارزیابی این معادله نشان می دهد که مؤلفه ناپایدار اثر بسیار مهمی بر روی پروفایل میدان نزدیک مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .

این اثر برای مبدل با شعاع در شکل 3.‌3 نشان داده شده است.

روش تبدیل فوریه :

نکته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفایل میدان ، قابلیت محاسبه پروفایل بر روی صفحه ای دیگر غیر از صفحه داده شده از میدان داده شده می باشد . این قضیه با حل دو مثال از مبدل دیسکی دایره‌‌ای که بصورت یکنواخت تحریک می شود ، بیان می گردد .

رش آنالیتیکال :

در صورت تعیین میدان مؤلفه ناپایدار می تواند حذف شود و محاسبه به جذب طیف زاویه ای بر روی صفحه معین و شناخته شده و تابع تبدیل فرکانس مکانی می انجامد و سپس بهبود الگوی میدان با تبدیل معکوس بدست می آید . محاسبات با استفاده از تابع تبدیل فرکانس مکانی مبدل پیستونی آغاز می شود .

(10.‌3)

(11.‌3)

S طیف زاویه ای و H تابع تبدیل فرکانس مکانی از صفحه به صفحه z می باشد . برای یک مبدل دیسکی با شعاع a و تحریک شده بصورت یکنواخت ، بر روی صفحه z ، با استفاده از روابط (3.‌3) ، (10.‌3) و (11.‌3) داریم :

(12.‌3)

بنابراین تبدیل فوریه معکوس z-D طیف فرکانسی با استفاده از معادلات تبدیل مختصات در (1.‌3) و در نظر داشتن تبدیل فوریه معکوس z-D برای پتانسیل سرعت پایه ریزی می شود . سپس مراحل ذکر شده در قسمت 1.‌1.‌3 با توجه به اجرا شده و پتانسیل سرعت بصورت زیر ساده می شود .

(13.‌3)

حد بالای انتگرال برای خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپایدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراین فشار بصورت زیر تعریف می شود .

(14.‌3)

این عبارت بر روی محور (on-axis) بصورت زیر ساده می شود .

(15.‌3)

شکل a.4.‌3 فشار میدان ر ا بر روی محور و شکل b.4.‌3 با استفقاده از رابطه (14.‌3) نشان می دهد.

تبدیل فوریه دوبعدی عددی :

در ثال قسمت قبل تقارن استوانه ای مبدل دیسکی اجازه می دهد تا پروفایل میدان بصورت عددی از یک انتگرال ارزیابی شود .برای مبدلهای پیچیده تر و بدون تقارن نیز می توان از روش طیف زاویه ای استفاده کرد ، ولی بایستی از تبدیل فوریه دوبعدی بهره جست . مطابق بخش 3.‌3.‌2 ، برای توزیع سرعت داده شده بر روی صفحه z=0 ، مراحل زیر را باید طی نمود :

(1) اعمال 2-DFFT سرعت بر روی صفحه منبع .

(2) ضرب این عبارت در تابع تبدیل H.

(3) گرفتن ZD-FFF معکوس .