دانلود مقاله محاسبات عددی (مینیمم کردن توابع چند متغیره)

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 44

14

MINIMAZATION

OF

MULTI VARIATE FUNCTIONS

(مینیمم کردن توابع چند متغیره)

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

یک طراحی مهندسی به تابعی به شکل زیر می رسد:

که در آن x و y پارامترهایی هستند که باید انتخاب شوند و یک تابع است، که مربوط به مخارج ساخت و ساز است و باید مینیمم شود.

روش های قابل استفاده برای بهینه سازی کردن نقاط را در این فصل مطالعه می کنیم.

مقدمه:

یک کاربرد مهم حساب دیفرانسیل، پیدا کردن مینیمم موضعی یک تابع است. مسائل مربوط به ماکزیمم کردن نیز با تئوری مینیمم کردن قابل حل هستند. زیرا ماکزیمم F در نقطه ای یافت می شود که -F مینیمم خود را اختیار می کند.

در حساب دیفرانسیل تکنیک اساسی برای مینیمم کردن، مشتق گیری از تابعی که می‌خواهیم آن را مینیمم کنیم و مساوی صفر قرار دادن آن است.

نقاطی که معادله حاصل را ارضا می کنند، نقاط مورد نظر هستند. این تکنیک را می توان برای توابع یک یا چند متغیره نیز استفاده کرد. برای مثال اگر یک مقدار مینیمم را بخواهیم، به نقاطی نگاه می کنیم که هر سه مشتق پاره ای برابر صفر باشند.

این روند را نمی توان در محاسبات عدی به عنوان یک هدف عمومی در نظر گرفت. زیرا نیاز به مشتقی دارد که با حل یک یا چند معادله بر حسب یک یا چند متغیر بدست می آید. این کار به همان سختی حل مسئله بصورت مستقیم است.

مسائل مقید و نامقید مینیمم سازی:

مسائل مینیمم سازی به دو شکل هستند:نامقید و مقید:

در یک مسئله ی مینیمم سازی نامقید یک تابع F از یک فضای n بعدی به خط حقیقی R تعریف شده و یک نقطه ی با این خاصیت که

جستجو می شود.

نقاط در را بصورت z, y, x و... نشان می دهیم. اگر نیاز بود که مولفه های یک نقطه را نشان دهیم می نویسیم:

در یک مسئله ی مینیمم سازی مقید، زیر مجموعه ی K در مشخص می شود . یک نقطة جستجو می شود که برای آن:

چنین مسائلی بسیار مشکل ترند، زیرا نیاز است که نقاط در K در نظر گرفته شوند. بعضی مواقع مجموعه ی K به طریقی پیچیده تعریف می شود.

سهمی گون بیضوی به معادله‌ی

را در نظر بگیرید که در شکل 1-14 مشخص شده است. به وضوح مینیمم نامقید در نقطه ی (1و1) ظاهر می شود، زیرا:

اگر

مینیمم مقید 4 است و در (0،0) اتفاق می افتد.

Matlab دارای قسمتی است برای بهینه سازی که توسط اندرو گریس طراحی شده و شامل دستورات زیادی برای بهینه سازی توابع عمومی خطی و غیر خطی است.

برای مثال ما می توانیم مسئله ی مینیمم سازی مربوط به سهمی گون بیضوی نشان داده شده در شکل 1-14 را حل نماییم.

ابتدا یک M-file به نام q1.m می نویسیم و تابع را تعریف می کنیم:

function f=q1(x)

آنگاه از Matlab استفاده می کنیم تا مقدار مینیمم را در نزدیکی نقطه ی برای این تابع بدست آورد:

type q1

بدست می آوریم که نقطه ی مینیمم (1،1) است و مقدار تابع در این نقطه 2 میباشد.

1-14حالت تک متغیره:

این حالت، حالت خاصی است که در آن یک تابع F بر روی R تعریف شده باشد. ابتدا بررسی می کنیم که برای حل اینگونه مسائل چگونه باید عمل کرد، زیرا مسئله ی عمومی تر n متغیره معمولاً با یک دنباله از محاسبات روی مسائل یک متغیره حل می شود.

فرض کنید است و ما بدنبال یک نقطه ی می گردیم که: