تحقیق زنجیره مارکوف

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 26

زنجیره مارکوف :

فرایند استوکتیک : یک مجموعه از متغیرهای تصادفی است {x(t), t(T} که در آن ، (T متغیر تصادفی است t را زمان یا پارامتر فرآیند و xt را وضعیت آن گویند. اگر t که متغیر زمان است را به یک متغیر گسسته بنام n تبدیل نمائیم در این صورت xt به xn تبدیل خواهد گشت . که xn متغیر وضعیت در محله nام خواهد شد.

مثال : فرض کنید سه نفر با یک توپ بازی می‌کنند که شخص A توپ را به شخص B و شخص B توپ را به شخص C می‌فرستد شخص c در 50 % موارد برای شخص A و یا B توپ می‌فرستد، که در این صورت n تعداد دفعات پرتاب توپ و xn شخصی که توپ نزد اوست میباشد.

زنجیره مارکوف :

یک فرایند استوکستیک است که در آن وضعیت آینده فقط بستگی به زمان حال دارد و هیچ ارتباطی به وضعیت گذشته ندارد.

بردار احتمال : u را بردار احتمال گویند که در آن مقادیر ui غیرمنفی بوده و (ui=1 است.

اگر (3 و 6 و 1 و 5 و 0 و 2) = u باشد با ضرب کردن ( × ) که 17/1= ʎ است. به بردار احتمال تبدیل میشود.ماتریس استوکتسیک : یک ماتریس n بعدی است که از بردارهای احتمال تشکیل شده است.

فقط سطر

قضیه : ضرب ماتریس استوکتسیک و بردار احتمال : اگر A یک ماتریس استوکتسیک n× nو u یک بردار احتمال n مولفه‌ای باشد در آن صورت حاصلضرب u.A یک برادر احتمال خواهد شد.

قضیه : اگر A و B ماتریسهای استوکتیک n× nباشند در آن صورت AB و همچنین توانهای ماتریسهای A و B خود ماتریسهای استوکتسیک خواهند بود.

ماتریس احتمال انتقال وضعیت: یک ماتریس n× nاست که m تعداد وضعیتهای ممکن بوده و هر عنصر این ماتریس مثل I و j نشان دهنده احتمال انتقال وضعیت از i به j پس از یک مرحله است.

= P

مثال : فرض کنید تاجری در سه شهر تجارت میکند اگر امروز در شهر الف باشد، فردا با احتمال مساوی در شهرهای ب و یا ج خواهد بود. ولی اگر امروز در شهر ب تجارت کند. احتمال اینکه فردا در شهر الف باشد دو برابر احتمال بودن در شهر ج است. در هر صورت اگر امروز در شهر ج باشد فردا حتماً در شهر ب خواهد بود.

الف ـ مساله را به یک مدل زنجیره مارکوف تبدیل کنید.

ب ـ ماتریس احتمال انتقال وضعیت پس از یک مرحله را بنویسید.

xn شهری که در روز nام قرار داریم. (در آن قرار داریم.

P=

n هر روز

دیاگرام احتمال انتقال وضعیت: شبکه‌ای است که در آن هرگاه بعنوان یک وضعیت بوده و مقادیر احتمالات روی کمانها از هرگره به گره دیگر مشخص میشود.

مدل قدم زدن تصادفی : شخصی روی محور مختصات یا به سمت چپ و یا به سمت راست به احتمال p یا (1-p) قدم می‌زند . اگر طول قدم به اندازه واحد باشد مدل قدم زدن تصادفی بصورت زیر خواهد بود.

=p

حال فرض کنید در مدل قدم زدن تصادفی یک دیوار در روی نقطه 3+ و 2- وجود دارد یا بعبارتی از نقطه 3 لزوماً باید به نقطه 2 حرکت شود و از نقطه 2- به نقطه 1- ، اگر p را دو سوم در نظر بگیریم ماتریس احتمال انتقال وضعیت دیاگرام احتمال انتقال وضعیت به قرار زیر خواهد بود.

محاسبه احتمالات در زنجیره‌های مارکوف :

رابطه چاپمن ـ کولموگروف : احتمال انتقال وضعیت از I به j پس از n مرحله را که با pij(n) نشان میدهند که این احتمالات عناصر ماتریس pn میباشد که عناصر ماتریس p (n) بصورت زیر محاسبه میشود.

2p = p.p = (2)p

3p = p.p = p.p = 3p

Pn=p(n-1)p = pn-1=pn

مثال : اگر در زمان شروع توپ ، نزد شخص A باشد احتمال اینکه پس از دوبار پرتاب توپ به دست c برسد چقدر است؟ اگر الان توپ نزد c باشد احتمال اینکه پس از صد بار پرتاب توپ نزد شخص c نباشد چقدر است ؟ اگر الان با احتمال مساوی توپ نزد A یا B باشد احتمال اینکه پس از سه بار توپ به c برسد چقدر است ؟

تعریف توزیع احتمال یا پخش احتمال مرحله nام : یک بردار سطری بصورت L(n) میباشد که در آن عناصر بردار یعنی li(n) برابر احتمال آن است که در مرحله nام فرایند در وضعیت I نباشد.

L(n)= ( l1(n), l2(n), l3(n) , ……lm(n))

مثال : l0= (1,0,0) l0= (1/2, ½ , 0) l1= (1/4, ¼ , ½)

قضیه : توزیع احتمال وضعیتها ( در مراحل مختلف با توجه به توزیع احتمال آن بصورت زیر قابل محاسبه است) .

مثال : اگر در لحظه شروع احتمال اینکه توپ نزد B باشد دو برابر آن است که نزد A یا C باشد. احتمال اینکه پس از دوبار پرتاب توپ نزد B باشد چقدر است ؟