دانلود مقاله جبر خطی و هندسه تحلیلی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 26

فصل 1

جبر خطی و هندسه تحلیلی

ماتریس

یک ماتریس از مرتبه n×m جدول مستطیلی از اعداد شامل m سطر و n ستون است که به صورت زیر آن را نمایش می دهیم:

که عنصطر سطرi ام و ستون j ام است را درایه (مولفه ) I,j ام ماتریس A می نامیم.

دو ماتریس A و B را مساوی گوییم هرگاه مرتبه های آنها با هم برابر باشد (هم مرتبه باشند) و درایه های متناظر آنها با هم مساوی باشد.

1-1-1- معرفی برخی از ماتریس های خاص

1) ماتریس سطری: اگر ماتریس A دارای یک سطر یعنی از مرتبه باشد آن را سطری از مرتبه n می نامیم.

2) ماتریس ستونی: اگر ماتریس A دارای یک ستون یعنی از مرتبه باشد آن را ستونی از مرتبه m می نامیم.

3) ماتریس صفر: ماتریسی که همه درایه های آن صفر است یعنی را ماتریس صفر نامیده و اگر از مرتبه باشد آن را با نماد نمایش می دهیم.

4) ماتریس مربعی: ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم مساوی هستند را ماتریس مربعی می نامیم و اگر تعداد سطرهای آن nباشد به آن ماتریس مربعی از مرتبهn می گوییم.

5) قطر اصلی: دریک ماتریس مربعی درایه های که برای آنها i=j باشد را درایه های قطری می نامیم و قطری که شامل این درایه هاست، قطر اصلی نامیده می شود.

6) اثر (تریس) ماتریس : در هر ماتریس مربعی مجموع عناصر واقع بر قطر اصلی را اثر (تریس) A نامیده و با trA نمایش می دهیم یعنی در هر ماتریس مربعی از مرتبه n:

7) ماتریس بالا و پایین مثلثی : ماتریس مربعی که همه درایه های زیر قطر اصلی آن صفر هستند یعنی

:

را ماتریس بالا مثلثی و ماتریس مربعی که درایه های بالای قطر اصلی آن صفر هستند، یعنی

:

را ماتریس پایین مثلثی می نامند.

8) ماتریس قطری: ماتریس مربعی که هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی است یعنی درایه های خارج قطر اصلی آن صفر هستند ( : ( را ماتریس قطری می نامند.

9) ماتریس همانی (واحد): ماتریس مربعی که همه عناصر خارج قطر اصلی آن صفر و درایه های قطر اصلی همگی 1 باشند و به عبارتی

را ماتریس همانی می نامند و اگر از مرتبه n باشد آن را با نماد نمایش می دهند.

تذکر: معمولاً درایه های ماتریس را با نمایش می دهند.

1-1-2- اعمال جبری روی ماتریس

1) جمع: اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند جمع آنها ماتریسی است که هر درایه آن از جمع درایه های متناظر در ماتریس های A و B بدست می آید به عبارتی اگر آنگاه

2) تفریق : اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند، تفاضل آنها یعنی ماتریسی است و

3) ضرب عدد (اسکالر) در ماتریس : اگر A ماتریس و عددی دلخواه باشد و انگاه

یعنی اسکالر در تک تک مولفه های A ضرب می شود.

4) ضرب: اگر و (تعداد سطرهای B با ستون های A برابر باشد) ماتریس حاصل ضرب آنها یعنی یک ماتریس است و

به عبارت دیگر از ضرب سطر j ام A در ستون j ام Bبه صورت مولفه به مولفه بدست می آید.

نکته 1: اعمال جبری روی ماتریس ها تمامی خواص اعمال جبری روی اعداد (مانند جابه جایی، شرکت پذیری و ... ) را دارند به جز آنکه ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه جایی ندارد یعنی

نکته 2: ماتریس همانی در ضرب، مانند عدد 1 عضو خنثی است یعنی

هندسه 32 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 32

مقدمه :

هندسه شاخه از ریاضیات است که اشکال و اندازه ها را مورد سر و کار دارد. هندسه ممکن است به عنوان علم فضا نیز انگاشته شود. همانطور که یک حسابگر مورد سر و کار دارد. با مسائلی را که شامل محاسبه(شمارش)است، هندسه نیز مسائلی را که در برگیرندۀ فضا است توضیح و ربط می دهد. هندسه پایۀ به ما این امکان را می دهد تا خصوصیاتی را مانند مساحت و محیط اشکال دو بعدی و سطوح صاف و حجم های اشکالی سه بعدی را تعیین کنیم.

افراد از فرمول های مشتق شده از هندسه را در زندگی روزمره برای کارهایی مانند مقدار رنگ لازمه برای رنگ آمیزی دیوارهای یک خانه یا برای محاسبۀ مقدار آب یک آکواریوم استفاده می کنند.

متدلوژی (روش شناسی)

هندسه قطعات مستقل ادراکی ساده را برای ایجاد با ساختارهای منطقی پیچنده ترکیب می کند. این قطعات مستقل شامل موارد تعریف نشده، اصطلاحات تعریف شده و قضیه ما می باشند. ترکیب این اجزاء زنجیره هایی از برهان ها را بوجود می آورد که نتایج موسوم به قضیه ها را حمایت (تأیید) می کند.

اصطلاحات تعریف نشده :

بعضی از مفاهیم اصلی در هندسه به صورت مفاهیم ساده تری بیان نشده اند. معروفترین آنها نقطه، خط و صفحه است. این مفاهیم اساسی از تجربیات روزانه بوجود آمده است. بنابراین تجربه از مکانی که یک شیئی است منتهی به ایده ای از یک مکان ثابت و دقیق می شود.

آنچه که اصطلاح "نقطه" به آن اشاره دارد مفهوم شهودی و مبتنی بر درک است. اجسام فیزیکی زیادی مفهوم "نقطه" را ارائه می دهند. از جمله گوشۀ یک قطعه، نوک یک مداد و یا نقطه ای روی یک صفحه کاغذ.

این چیزها مذل، نحوۀ نمایش یا تصویر نقطه نامیده میشود. گرچه موارد فوق تقریباً فقط مفهومی در ذهن را ارائه می دهند. بطور مشابه، یک ردیف از نقطه های موجود در یک رشته محکم کشیده شده، لبۀ یک میز یا میلۀ پرچم که بصورت نامحدودی در دو جهت امتداد یافته اند خط نامیده میشود.

واژۀ "صفحه" یک سطح مسطح را توصیف می کند. مانند کف اطاق، صفحۀ نمایش یا تخته سیاه. اما با این فرض که در همۀ جهات بصورت نامحدودی امتداد یافته است. و این بدین معنی است که صفحه هم مانند یک خط که انتها ندارد، لبه ندارد. سایر اصطلاحات تعریف نشده ارتباط بین نقطه ها، خطوط و صفحات را توضیح می دهد مانند ارتباط بیان شده بوسیلۀ این عبارت نقطه ای که روی یک خط قرار می گیرد."

اصطلاحات تعریف شده :

اصطلاحات تعریف نشده می توانند برای تعریف سایر اصطلاحات ترکیب شوند مثلاً نقاطی در یک خط مستقیم قرار نگرفته اند، همان نقاطی هستند که روی همان خط قرار نمی گیرند. پاره خط بخشی از یک خط است که شامل دو نقطۀ خاص است و همۀ نقطه ها بین آن دو نقطه خاص قرار می گیرد.

در حالیکه (ray) بخشی از یک خط است که شامل نقطۀ خاص موسوم به نقطۀ انتهایی و همۀ نقاطی است که بطور نامحدودی در یک طرف نقطۀ انتهائی امتداد یافته اند.

اصطلاحات تعریف شده می توانند با یکدیگر و با اصطلاحات تعریف نشده به منظور تعریف اصطلاحات بیشتر ترکیب شوند.

به عنوان مثال، یک زاویه ترکیبی از دو خط یا دو پرتو مختلفی است که در یک نقطه پایانی مشترک هستند. همینطور یک مثلث از سه نقطۀ غیر واقع در یک امتداد پاره خطهایی که بین آنها قرار دارد تشکیل شده است.

قضیه ها:

قضیه ها، یا اصل ها، ثابت نشده اند اما فرضیه هایی هستند که پذیرفته شدۀ جهانی هستند. مثلاً "فقط و فقط یک خط وجود دارد که از دو نقطۀ معین می گذرد". سیستم متشکل از یک سری قضیه های نامتناقض اصول کلی راجع به اصطلاحات تعریف نشدۀ نقطه، خط و صفحه را با قضیه های استنباط شده از این اصول کلی را هندسه گویند .

مجموعه های متفاوت قضیه ها کل سیستمهای متفاوت هندسه را تعیین می کنند. اگر قصیه های انتخاب شده بوسیلۀ تجربۀ فضای فیزیکی ارائه شوند، بنابراین بطور منطقی انتظار می رود تا نتایج بدقت با تجربیات مربوط به فضا ارتباط نزدیکی داشته باشد. اما چون هر سری از قضیه ها حتماً باید بر اساس مشاهدۀ ناقص و تقریبی انتخاب شوند بنابراین آنها به احتمال زیاد برای فضای واقعی بطور تقریبی قابل اعمال هستند.

بنابراین تعجب آور نیست که هر هندسه خاصی برای مسائل فضای واقعی غیر کاربردی یا فقط تا حدی کاربردی از کار درآید.

برهان ها:

برهان بطور منطقی از قضیه ها نتیجه گیری میوند. این فرآیند نتیجه گیری و قیاس یک دلیل (ثبات) نامیده میشود. هر مرحله از یک برهان باید بوسیلۀ یکی از قضیه ها یا بوسیلۀ

هندسه نقوش مساجد در ایران

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 31

موضوع:

هندسه نقوش مساجد در ایران

نمایشگاه هندسه نقوش علم و فرهنگ در هنر ایران

جام جم آنلاین: نگارخانه کمال الدین بهزاد نمایشگاهی از آثار هندسه نقوش دانشجویان دانشگاه علم و فرهنگ را برگزار می کند.در این نمایشگاه رویکرد دانشجویان دانشگاه علم و فرهنگ به هندسه ایرانی که حاصل آن نقوشی مانند شمسه است، نمایان می شود. هندسه نقوش بخش مهمی از شاکله تفکر ایرانی را بوجود آورده است و نمود این هندسه را نه تنها در کاشی کاری های مساجد بلکه در همه عرصه های معماری ایرانی مانند باغ ایرانی می توان یافت.

به گزارش ایرنا، باغ ایرانی جای امن و آرام و جایی است برای تامل و تحقیق، جایی که روح آدمی تازه و منظره ای تازه بر او مکشوف می شود؛ ویژگی و شاخصه باغ ایرانی، فضایی به غایت هندسی، منظم و از پیش طراحی شده است. این شالوده هندسی در انتزاع مفاهیم، مبانی و عناصر شکل دهنده باغ و نحوه ترکیب این عناصر و اجزا که در نهایت به ارایه شکل کلی آن می انجامد نقش دارد.

هندسه اساس هنر و معماری ایرانی است؛ نگرش انتزاعی ایرانیان به خصوص بعد از اسلام به اندیشه ، هنر و محیط انسانی پایه و اساس فهم مردم ایرانی از جهان و چهارسویی که برای آن قایل هستند. این نگرش هندسی گستره‌ای از معماری ایرانی از زیبایی و زیبایی شناسی تا ساختارها و شالوده ها را شامل می شود. تاثیر ساختاری هندسه از معماری ایرانی خود پهنه وسیعی از تعریف و شکل گیری فضایی و تا مسایل نیایشی و استاتیکی را تحت تاثیر قرار می دهد. این تاثیرگذاری در باغ ایرانی که در پیوند فضا های بسته و باز شکل می گیرد در تمامی عرصه ها به چشم می خورد و ما در باغ گذشته از شکل گیری هندسی فضاها شاهد آنیم که فضا های باز و عرصه های طبیعی نیز به نظم درآمده و با هندسه قوام می گیرند.

مذهب، منبع هنر معماری هندسه نقوش مساجد ایران

معماران و هنرمندان مسلمان در ساخت و طراحی مساجد نهایت ذوق و خلاقیت هنری خود را بی‌توجه به اجر مادی آن به کار می بردند.

پایگاه اطلاع‌رسانی شهرسازی و معماری : معماری مساجد در ایران یک دنیا شور و هیجان و یک سکوت و آرامش باشکوه را به نمایش می‌گذارد که نماینده ذوق سرشار زیبایی‌شناسی است و منبعی جز ایمان مذهبی و الهام آسمانی نمی‌تواند داشته باشد.

از همان ابتدای ظهور اسلام تا کنون ، ملت‌ها و اقوام مختلف مانند یک امت واحد، با فرهنگ‌ها، آداب و رسوم و به ویژه با توانایی و درک هنری متفاوت و متنوع در کار ساختن و پرداختن مساجد در سرزمین‌های وسیعی که از اندلس در باختر تا جنوب خاوری آسیا امتداد دارد، تلاش کرده‌اند.

بر این اساس  هر آنچه که دیروز و امروز تحت عنوان معماری اسلامی در سرزمین‌های

مقاله هندسه

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 32 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

مقدمه :

هندسه شاخه از ریاضیات است که اشکال و اندازه ها را مورد سر و کار دارد. هندسه ممکن است به عنوان علم فضا نیز انگاشته شود. همانطور که یک حسابگر مورد سر و کار دارد. با مسائلی را که شامل محاسبه(شمارش)است، هندسه نیز مسائلی را که در برگیرندۀ فضا است توضیح و ربط می دهد. هندسه پایۀ به ما این امکان را می دهد تا خصوصیاتی را مانند مساحت و محیط اشکال دو بعدی و سطوح صاف و حجم های اشکالی سه بعدی را تعیین کنیم.

افراد از فرمول های مشتق شده از هندسه را در زندگی روزمره برای کارهایی مانند مقدار رنگ لازمه برای رنگ آمیزی دیوارهای یک خانه یا برای محاسبۀ مقدار آب یک آکواریوم استفاده می کنند.

متدلوژی (روش شناسی)

هندسه قطعات مستقل ادراکی ساده را برای ایجاد با ساختارهای منطقی پیچنده ترکیب می کند. این قطعات مستقل شامل موارد تعریف نشده، اصطلاحات تعریف شده و قضیه ما می باشند. ترکیب این اجزاء زنجیره هایی از برهان ها را بوجود می آورد که نتایج موسوم به قضیه ها را حمایت (تأیید) می کند.

اصطلاحات تعریف نشده :

بعضی از مفاهیم اصلی در هندسه به صورت مفاهیم ساده تری بیان نشده اند. معروفترین آنها نقطه، خط و صفحه است. این مفاهیم اساسی از تجربیات روزانه بوجود آمده است. بنابراین تجربه از مکانی که یک شیئی است منتهی به ایده ای از یک مکان ثابت و دقیق می شود.

آنچه که اصطلاح "نقطه" به آن اشاره دارد مفهوم شهودی و مبتنی بر درک است. اجسام فیزیکی زیادی مفهوم "نقطه" را ارائه می دهند. از جمله گوشۀ یک قطعه، نوک یک مداد و یا نقطه ای روی یک صفحه کاغذ.

این چیزها مذل، نحوۀ نمایش یا تصویر نقطه نامیده میشود. گرچه موارد فوق تقریباً فقط مفهومی در ذهن را ارائه می دهند. بطور مشابه، یک ردیف از نقطه های موجود در یک رشته محکم کشیده شده، لبۀ یک میز یا میلۀ پرچم که بصورت نامحدودی در دو جهت امتداد یافته اند خط نامیده میشود.

واژۀ "صفحه" یک سطح مسطح را توصیف می کند. مانند کف اطاق، صفحۀ نمایش یا تخته سیاه. اما با این فرض که در همۀ جهات بصورت نامحدودی امتداد یافته است. و این بدین معنی است که صفحه هم مانند یک خط که انتها ندارد، لبه ندارد. سایر اصطلاحات تعریف نشده ارتباط بین نقطه ها، خطوط و صفحات را توضیح می دهد مانند ارتباط بیان شده بوسیلۀ این عبارت نقطه ای که روی یک خط قرار می گیرد."

اصطلاحات تعریف شده :

اصطلاحات تعریف نشده می توانند برای تعریف سایر اصطلاحات ترکیب شوند مثلاً نقاطی در یک خط مستقیم قرار نگرفته اند، همان نقاطی هستند که روی همان خط قرار نمی گیرند. پاره خط بخشی از یک خط است که شامل دو نقطۀ خاص است و همۀ نقطه ها بین آن دو نقطه خاص قرار می گیرد.

در حالیکه (ray) بخشی از یک خط است که شامل نقطۀ خاص موسوم به نقطۀ انتهایی و همۀ نقاطی است که بطور نامحدودی در یک طرف نقطۀ انتهائی امتداد یافته اند.

اصطلاحات تعریف شده می توانند با یکدیگر و با اصطلاحات تعریف نشده به منظور تعریف اصطلاحات بیشتر ترکیب شوند.

به عنوان مثال، یک زاویه ترکیبی از دو خط یا دو پرتو مختلفی است که در یک نقطه پایانی مشترک هستند. همینطور یک مثلث از سه نقطۀ غیر واقع در یک امتداد پاره خطهایی که بین آنها قرار دارد تشکیل شده است.

قضیه ها:

قضیه ها، یا اصل ها، ثابت نشده اند اما فرضیه هایی هستند که پذیرفته شدۀ جهانی هستند. مثلاً "فقط و فقط یک خط وجود دارد که از دو نقطۀ معین می گذرد". سیستم متشکل از یک سری قضیه های نامتناقض اصول کلی راجع به اصطلاحات تعریف نشدۀ نقطه، خط و صفحه را با قضیه های استنباط شده از این اصول کلی را هندسه گویند .

مجموعه های متفاوت قضیه ها کل سیستمهای متفاوت هندسه را تعیین می کنند. اگر قصیه های انتخاب شده بوسیلۀ تجربۀ فضای فیزیکی ارائه شوند، بنابراین بطور منطقی انتظار می رود تا نتایج بدقت با تجربیات مربوط به فضا ارتباط نزدیکی داشته باشد. اما چون هر سری از قضیه ها حتماً باید بر اساس مشاهدۀ ناقص و تقریبی انتخاب شوند بنابراین آنها به احتمال زیاد برای فضای واقعی بطور تقریبی قابل اعمال هستند.

بنابراین تعجب آور نیست که هر هندسه خاصی برای مسائل فضای واقعی غیر کاربردی یا فقط تا حدی کاربردی از کار درآید.

برهان ها:

برهان بطور منطقی از قضیه ها نتیجه گیری میوند. این فرآیند نتیجه گیری و قیاس یک دلیل (ثبات) نامیده میشود. هر مرحله از یک برهان باید بوسیلۀ یکی از قضیه ها یا بوسیلۀ

تحقیق در مورد هندسه 32 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : وورد

نوع فایل :  .doc ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحه : 32 صفحه

 قسمتی از متن .doc : 

مقدمه :

هندسه شاخه از ریاضیات است که اشکال و اندازه ها را مورد سر و کار دارد. هندسه ممکن است به عنوان علم فضا نیز انگاشته شود. همانطور که یک حسابگر مورد سر و کار دارد. با مسائلی را که شامل محاسبه(شمارش)است، هندسه نیز مسائلی را که در برگیرندۀ فضا است توضیح و ربط می دهد. هندسه پایۀ به ما این امکان را می دهد تا خصوصیاتی را مانند مساحت و محیط اشکال دو بعدی و سطوح صاف و حجم های اشکالی سه بعدی را تعیین کنیم.

افراد از فرمول های مشتق شده از هندسه را در زندگی روزمره برای کارهایی مانند مقدار رنگ لازمه برای رنگ آمیزی دیوارهای یک خانه یا برای محاسبۀ مقدار آب یک آکواریوم استفاده می کنند.

متدلوژی (روش شناسی)

هندسه قطعات مستقل ادراکی ساده را برای ایجاد با ساختارهای منطقی پیچنده ترکیب می کند. این قطعات مستقل شامل موارد تعریف نشده، اصطلاحات تعریف شده و قضیه ما می باشند. ترکیب این اجزاء زنجیره هایی از برهان ها را بوجود می آورد که نتایج موسوم به قضیه ها را حمایت (تأیید) می کند.

اصطلاحات تعریف نشده :

بعضی از مفاهیم اصلی در هندسه به صورت مفاهیم ساده تری بیان نشده اند. معروفترین آنها نقطه، خط و صفحه است. این مفاهیم اساسی از تجربیات روزانه بوجود آمده است. بنابراین تجربه از مکانی که یک شیئی است منتهی به ایده ای از یک مکان ثابت و دقیق می شود.

آنچه که اصطلاح "نقطه" به آن اشاره دارد مفهوم شهودی و مبتنی بر درک است. اجسام فیزیکی زیادی مفهوم "نقطه" را ارائه می دهند. از جمله گوشۀ یک قطعه، نوک یک مداد و یا نقطه ای روی یک صفحه کاغذ.

این چیزها مذل، نحوۀ نمایش یا تصویر نقطه نامیده میشود. گرچه موارد فوق تقریباً فقط مفهومی در ذهن را ارائه می دهند. بطور مشابه، یک ردیف از نقطه های موجود در یک رشته محکم کشیده شده، لبۀ یک میز یا میلۀ پرچم که بصورت نامحدودی در دو جهت امتداد یافته اند خط نامیده میشود.

واژۀ "صفحه" یک سطح مسطح را توصیف می کند. مانند کف اطاق، صفحۀ نمایش یا تخته سیاه. اما با این فرض که در همۀ جهات بصورت نامحدودی امتداد یافته است. و این بدین معنی است که صفحه هم مانند یک خط که انتها ندارد، لبه ندارد. سایر اصطلاحات تعریف نشده ارتباط بین نقطه ها، خطوط و صفحات را توضیح می دهد مانند ارتباط بیان شده بوسیلۀ این عبارت نقطه ای که روی یک خط قرار می گیرد."

اصطلاحات تعریف شده :

اصطلاحات تعریف نشده می توانند برای تعریف سایر اصطلاحات ترکیب شوند مثلاً نقاطی در یک خط مستقیم قرار نگرفته اند، همان نقاطی هستند که روی همان خط قرار نمی گیرند. پاره خط بخشی از یک خط است که شامل دو نقطۀ خاص است و همۀ نقطه ها بین آن دو نقطه خاص قرار می گیرد.

در حالیکه (ray) بخشی از یک خط است که شامل نقطۀ خاص موسوم به نقطۀ انتهایی و همۀ نقاطی است که بطور نامحدودی در یک طرف نقطۀ انتهائی امتداد یافته اند.

اصطلاحات تعریف شده می توانند با یکدیگر و با اصطلاحات تعریف نشده به منظور تعریف اصطلاحات بیشتر ترکیب شوند.

به عنوان مثال، یک زاویه ترکیبی از دو خط یا دو پرتو مختلفی است که در یک نقطه پایانی مشترک هستند. همینطور یک مثلث از سه نقطۀ غیر واقع در یک امتداد پاره خطهایی که بین آنها قرار دارد تشکیل شده است.

قضیه ها:

قضیه ها، یا اصل ها، ثابت نشده اند اما فرضیه هایی هستند که پذیرفته شدۀ جهانی هستند. مثلاً "فقط و فقط یک خط وجود دارد که از دو نقطۀ معین می گذرد". سیستم متشکل از یک سری قضیه های نامتناقض اصول کلی راجع به اصطلاحات تعریف نشدۀ نقطه، خط و صفحه را با قضیه های استنباط شده از این اصول کلی را هندسه گویند .

مجموعه های متفاوت قضیه ها کل سیستمهای متفاوت هندسه را تعیین می کنند. اگر قصیه های انتخاب شده بوسیلۀ تجربۀ فضای فیزیکی ارائه شوند، بنابراین بطور منطقی انتظار می رود تا نتایج بدقت با تجربیات مربوط به فضا ارتباط نزدیکی داشته باشد. اما چون هر سری از قضیه ها حتماً باید بر اساس مشاهدۀ ناقص و تقریبی انتخاب شوند بنابراین آنها به احتمال زیاد برای فضای واقعی بطور تقریبی قابل اعمال هستند.

بنابراین تعجب آور نیست که هر هندسه خاصی برای مسائل فضای واقعی غیر کاربردی یا فقط تا حدی کاربردی از کار درآید.

برهان ها:

برهان بطور منطقی از قضیه ها نتیجه گیری میوند. این فرآیند نتیجه گیری و قیاس یک دلیل (ثبات) نامیده میشود. هر مرحله از یک برهان باید بوسیلۀ یکی از قضیه ها یا بوسیلۀ